Фермионное поле стандартной модели

Во-первых, Стандартная модель не рассматривает бозонные поля как классические. Они квантово-механические, то есть неклассические, они просто не являются антикоммутирующими или нечетными по Грассману. Во-вторых, непротиворечивая теория просто требует связи между спином и статистикой, см., например,

http://en.wikipedia.org/wiki/Spin-statistics_theorem

Сочетание целочисленного спина со статистикой Ферми приводит к призраку, энергии или норме, которые не являются положительно определенными, и наоборот (полуцелочисленный спин со статистикой Бозе). Это доказал Паули.

Однако в самом вашем вопросе вообще не говорилось о целочисленном и полуцелом вращении. Речь шла о связи между фермионами и антикоммутирующими полями. Это почти тавтология. Фермион — это частица, волновая функция которой для многих частиц антисимметрична, т.$\psi(x_1,x_2)=-\psi(x_2,x_1)$и т. д., поэтому поля, создающие эти частицы, должны быть антикоммутирующими,$a^\dagger(x_1) a^\dagger(x_2)=-a^\dagger(x_2)a^\dagger(x_1)$. Многочастичное состояние в КТП записывается как

То же самое для бозонов и «коммутирующих», без знака минус.

Ответ на ваш вопрос «почему» заключается в том, что ваше утверждение на самом деле является тавтологией, в значительной степени определением бозонов и фермионов, вплоть до, возможно, сбивающих с толку комментариев об «одной антисимметрии», подразумевающей «другую антисимметрию» выше. Конечно, вы также можете спросить, почему для описания частиц вообще используются коммутирующие или антикоммутирующие поля. Ну, природа просто работает таким образом. Квантовые поля естественным образом сводятся к квантовой механике множественных тел с автоматической симметрией или антисимметрией – и они также могут порождать автоматически лоренц-инвариантные теории (что было бы сложно в «нерелятивистском стиле» многочастичной квантовой механики).

Если вы считаете антикоммутирующее поле слишком произвольным и вам не нравится антикоммутирующее поле, вы можете спросить, действительно ли нам нужно использовать антикоммутирующее поле для описания фермионов? Может ли теория только с бозонами иметь фермионные возбуждения, возникающие при низких энергиях? Ответ - да! Таким образом, нам не нужно использовать антикоммутирующие поля для описания фермионов, и это верно в любых измерениях.