Физическая разница между калибровочными симметриями и глобальными симметриями

Первым ответом на такой вопрос всегда должен быть: Калибровочная симметрия не имеет «физического» смысла, это артефакт нашего выбора для координат/полей, которыми мы описываем систему (ср. Калибровочная симметрия не является симметрией ? В чем важность неединственности векторного потенциала? , «Квантование калибровочных систем» Хенно и Тейтельбойма). Любая калибровочная симметрия лагранжиана эквивалентна ограничению в гамильтоновом формализме, т. е. нетривиальной связи между координатами и их каноническими импульсами.

В принципе, любую калибровочную симметрию можно устранить, перейдя к редуцированному фазовому пространству с меньшим числом канонических степеней свободы. Калибровочная симметрия не имеет физического смысла в том смысле, что от нее можно избавиться, перейдя к (классически) эквивалентному описанию системы. Калибровочное преобразование не имеет физического смысла , поскольку все состояния, связанные калибровочным преобразованием, физически являются одним и тем же состоянием . Формально вы должны разделить калибровочную симметрию из вашего пространства состояний, чтобы получить фактическое пространство состояний.

Напротив, глобальная симметрия является «истинной» симметрией системы. Он не уменьшает степени свободы системы, а «лишь» соответствует сохраняющимся количествам (либо через теорему Нётер в лагранжевой формулировке, либо через почти тривиальное эволюционное уравнение в гамильтоновом формализме). Он физический в том смысле, что связанные с ним состояния можно считать «эквивалентными», но они не являются одним и тем же.

Интересно, что для скалярной КЭД глобальная симметрия дает довольно неудобный «нетеровский ток» — тот, который зависит от калибровочного поля (см. этот ответ )! Таким образом, утверждение, что «теорема Нётер» дает нам сохранение заряда/числа частиц, не является наивно верным в скалярном случае (но это верно в случае Дирака ). Получение сохранения заряда из калибровочной симметрии также обсуждается в Classical EM: четкая связь между калибровочной симметрией и сохранением заряда .

Вы можете спросить, зачем тогда вообще использовать такое «глупое» описание. Ответ заключается в том, что на практике избавление от лишних степеней свободы доставляет больше хлопот, чем пользы. Это может нарушить очевидную инвариантность относительно других симметрий (в первую очередь лоренц-инвариантность), и могут быть препятствия (например, препятствия Грибова ) для последовательной фиксации калибровки. Квантование калибровочных теорий гораздо лучше понимается в формализме БРСТ, где калибровочная симметрия сохраняется и реализуется в квантовой теории, чем в формализме Дирака, который требует, чтобы вы действительно могли решить ограничения в формализме Гамильтона.

Таким образом, ключевое различие между калибровочной и глобальной симметрией состоит в том, что одна из них находится в нашем теоретическом описании , а другая является свойством системы . Никакие махинации не сделают точечный заряд менее сферически симметричным (симметрия глобального вращения). Но, например, электромагнитная калибровочная симметрия просто исчезает, если вместо четырехпотенциала рассматривать электрические и магнитные поля. Однако в этом случае мы теряем возможность записать ковариантную лагранжеву формулировку электромагнетизма — ток$J^\mu$ должен соединиться с каким-то другим четырехвектором, и этот четырехвектор является просто потенциальным$A^\mu$.

Есть еще один важный аспект калибровочных симметрий: каждый безмассовый векторный бозон обязательно связан с калибровочной симметрией (доказательство см. в «Квантовой теории полей» Вайнберга ). В последовательной квантовой теории поля нет другого пути: вам нужны безмассовые векторные бозоны, такие как фотоны, — вы получаете калибровочную симметрию. Независимо от того, насколько «нефизична» эта симметрия, в рамках ковариантной теории квантового поля у нас просто нет другого выбора, кроме как сформулировать такое содержание частиц в терминах калибровочного поля. В этом вы можете видеть истинное «физическое» значение калибровочных симметрий с точки зрения квантовой теории поля. Идя еще дальше, это спонтанный разрывтаких симметрий, которые создают массивные векторные бозоны. Теория векторных бозонов почти неизбежно оказывается теорией калибровочных симметрий.

В качестве отступления: в принципе можно попытаться превратить любую неаномальную глобальную симметрию в калибровочную симметрию (см . Когда можно калибровать глобальную симметрию? ). Вопрос в том, порождает ли его измерение какие-либо новые физические состояния и соответствуют ли эти состояния наблюдениям.

Это очень широкий вопрос, поэтому есть много способов ответить на него. Вот одна интерпретация.

Принципиальное различие между калибровочными симметриями и глобальными симметриями состоит в том, что калибровочные симметрии приводят к дальнодействующим взаимодействиям между заряженными частицами; калибровочная симметрия требует существования безмассового поля, которое может распространяться на сколь угодно большие расстояния (в бесщелевой фазе).

Различие лучше всего характеризуется правилом суперотбора, связанным с калибровочной симметрией. Напомним, что квантовая теория поля с гильбертовым пространством$\mathcal{H}$говорят, что он подчиняется правилу суперотбора, если гильбертово пространство может быть записано в виде суммы

$$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n,$$ такое, что для любого локального оператора $\mathcal{O}(x)$, $$\langle n|\mathcal{O}(x)|m\rangle = 0$$ за $n\neq m$, куда $|n\rangle$а также $|m\rangle$являются произвольными состояниями в $\mathcal{H}_n$а также $\mathcal{H}_m$. $\mathcal{H}_n$называются секторами суперотбора. Физически правила суперотбора появляются в калибровочных теориях всякий раз, когда существуют состояния с дальнодействующим влиянием, которые не могут быть уничтожены локальными операторами. Они классифицируют дальнодействующие «волосы», связанные с физическими состояниями.

В контексте упомянутого вами скалярного примера КЭД гильбертово пространство разбивается на сектора суперотбора, помеченные зарядом$Q$связанные с постоянными U(1) калибровочными преобразованиями. Локальные калибровочно-инвариантные операторы всегда имеют нулевой заряд и не могут изменить заряд состояния. Физически заряженная частица порождает дальнодействующее электрическое поле, которое не может быть уничтожено (или создано) никаким локальным оператором в бесконечном пространственном объеме. Это существенная черта калибровочных теорий, описанная выше.

При отключении калибровочной связи соответствующая глобальная симметрия U(1) не приводит к такому правилу суперотбора. Гильбертово пространство по-прежнему оценивается по зарядовому числу, но локальные операторы могут быть заряжены в соответствии с симметрией. Нет никаких «длинных волос», связанных с глобальной симметрией.

Рискуя быть слишком подробным, я должен указать на одну тонкость: приведенное выше обсуждение предполагало, что калибровочная теория находится в бесщелевой фазе. (Для скалярного примера КЭД это называется «кулоновской фазой»). Другие фазы могут нарушать правило суперотбора. Например, если мы деформируем теорию так, что$\phi$приобретает vev (в унитарной калибровке), тогда теория оказывается в фазе с пробелами («фаза Хиггса»), и правило суперотбора нарушается. Физически заряженные частицы окружены конденсатом заряда, который экранирует дальнодействующее электрическое поле. В штатах больше нет длинных волос, и нет правила суперотбора. С другой стороны, неабелевы калибровочные теории обычно встречаются в «ограничивающей фазе», которая представляет собой еще один вид фазы с промежутками, в которой непертурбативные эффекты заставляют все состояния нести нулевой заряд. Правило суперотбора нарушено, и нет дальнодействующих взаимодействий.

Некоторое интересное обсуждение в этом направлении см. в разделе 2 этой статьи .