Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Поскольку сохранение заряда кажется хорошо известной концепцией, я надеюсь, что что-то упускаю и что вывод неверен. Однако мне не удалось опровергнуть это. Обрисую ситуацию следующим образом.

Обзор

Рассмотрим следующий лагранжиан для скалярной КЭД и поля$\varphi$:

$$\begin{align} \mathcal{L}=\overline{D_\mu\varphi}D^\mu\varphi-U(|\varphi|^2)-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\tag{1} \end{align}$$ где $$D_\mu=\partial_\mu-iA_\mu\varphi.\tag{2}$$

Один набор уравнений Эйлера-Лагранжа:

$$\begin{align} \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta A_\mu}=i(\overline\varphi\partial_\mu\varphi-\varphi\partial_\mu\overline\varphi)+2A^\mu|\varphi|^2+\partial_\nu F^{\mu\nu}=0.\tag{3} \end{align}$$

Если мы рассмотрим глобальное преобразование калибровочной симметрии$\varphi\to\varphi+i\epsilon\varphi$, то первая теорема Нётер дает следующий закон сохранения (заряд, см., например, [1] ) для решений уравнения$\delta\mathcal{S}=0$:

$$\begin{align} \partial_\mu j^\mu:=\partial_\mu\left[i(\overline\varphi\partial_\mu\varphi-\varphi\partial_\mu\overline\varphi)+2A^\mu|\varphi|^2\right]=0.\tag{4} \end{align}$$

Вопрос: соответствует ли интеграл плотности заряда$j^0$исчезают одинаково? Если да, значит ли это, что ничего не сохраняется?

Моя попытка ответить: Да. Чтобы убедиться в этом, проинтегрируем уравнение неразрывности по$\mathbb{R}^3$и применим теорему Гаусса:

$$\begin{align} \partial_0Q:=\partial_0\int_{\mathbb{R}^3}j^0 d^3 x=-\sum_{\mu=1}^3\int_{R^2} j^\mu \bigr\rvert_{|x_\mu|\to\infty}d^2x.\tag{5} \end{align}$$ Здесь мы говорим, что $Q=\int j^0$это общий заряд.

Будем считать, что поля$\varphi$и$F$исчезнуть как$\max_{\mu\ge 1}(x_\mu)\to\infty$. Это естественное граничное условие для физических наблюдаемых. Тогда потоки$j^\mu$явно обращается в нуль в этом пределе. Таким образом, наш закон сохранения принимает вид:

$$\begin{align} \partial_0\int_{\mathbb{R}^3}j^0 d^3 x=0.\tag{6} \end{align}$$ Но $$j^0=\delta\mathcal{L}/\delta A_0-\partial_\nu F^{0\nu}=-\partial_\nu F^{0\nu}\tag{7}$$ на решениях, поэтому мы можем эквивалентно переписать интеграл заряда, используя теорему Гаусса, следующим образом: $$\begin{align} Q=-\sum_{\nu\ge 1}\int_{\mathbb{R}^2}F^{0\nu}\bigr|_{|x_\nu|\to\infty} d^3 x.\tag{8} \end{align}$$ Поскольку поля обращаются в нуль на бесконечности, получаем: $$\begin{align} Q\equiv 0.\tag{9} \end{align}$$

Другими словами, если это верно, то это показывает, что заряд для этой системы тождественно равен нулю и что ничего не сохраняется (кажется неверным называть$d0/dt\equiv 0$закон сохранения, а не тавтология/тождество).

Ссылки по теме

Есть несколько других вопросов, заданных пользователями, которые имеют некоторое отношение к этому. Однако я не думаю, что вопрос о сохранении фактического интеграла заряда где-либо обсуждался. Один показывает, что плотность заряда можно переписать как полную дивергенцию, из которой, конечно, вытекает аргумент. Эта статья включает тот факт, что для локальной калибровочной симметрии не существует закона сохранения, но не разъясняет это для случая глобальной симметрии (который должен быть частным случаем локальных результатов). Другой дает обзор сохранения заряда.

Редактировать:

В другом вопросе также обсуждается сохранение заряда, но, похоже, он больше связан с интерпретацией плотности заряда. Вместо этого я спрашиваю, сохраняется ли плотность вообще.