Что такое калибровочная теория?

Question

Что такое калибровочная теория?

Физика
теория поля
калибровочная теория
калибровочная инвариантность
классическая теория поля

Адомас Балюка

Обратите внимание, что я только что прочитал около 20 дискуссий на форуме, ни одна из которых не ответила на мой вопрос. Этот вопрос связан с моим более ранним вопросом . Является ли симметрия пространства-времени калибровочной симметрией? .

Я ищу определение «Калибровочной теории» в чисто формальных терминах. Что такое калибровочная теория в контексте классической теории поля?

Предположим, вам дано несколько полей $\{\phi_i\},$ $i=1,\dots,n$ на $\mathbb{R^4}$ , которые определенным образом преобразовываются (и, возможно, смешиваются) с помощью преобразований Пуанкаре, лагранжевой плотности $\mathcal{L}$ (которое зависит от значений полей и их производных) и действие (интеграл от $\mathcal{L}$ оценивается в полях, оцениваемых в баллах). Далее предположим, что для всех полей $\phi=(\phi_i)$ и преобразования Пуанкаре $P$

С [ф] "=" С [п \cdot ф] .

$S[\phi]=S[P\cdot \phi].$ Я думаю, что большинство людей согласятся с тем, что эти данные определяют классическую специальную релятивистскую теорию поля. Имеет ли смысл спрашивать: «Каковы калибровочные симметрии этой теории?» ? Другими словами: является ли это четко определенным понятием только с данными, приведенными выше? Учитывая некоторые преобразования

ϕ \mapsto ϕ^{'}

$\phi\mapsto \phi'$ , имеет ли смысл спрашивать: «Это калибровочное преобразование?»?

Кажется, есть некоторые разногласия «является ли ОТО калибровочной теорией» и «в каком смысле ОТО является калибровочной теорией», поэтому я предполагаю, что ответ на поставленный выше вопрос отрицательный, но я хотел быть уверенным. Я знаю статью Теренса Тао, также озаглавленную « Что такое калибр? ». где, по его мнению, выбор координат является частным случаем фиксации калибра.

Чтобы вернуться к приведенному выше вопросу и сделать его более интересным, чем просить «Нет» в качестве ответа, рассмотрим следующее: Насколько я знаю, свободная теория Клейна Гордона реального скалярного поля в $3+1$ измерения не имеют калибровочных симметрий (что бы это ни значило). Как бы вы построили классическую теорию поля, «физически эквивалентную» теории Клейна-Гордона после удаления калибровочных степеней свободы? Я прошу пример, если это достаточно просто.

Другая версия самого первого вопроса такова: может ли один и тот же лагранжиан иметь две разные калибровочные группы, составляющие две разные теории? Предположительно тот факт, что канонический импульс, связанный с $A^0$ в теории Максвелла не является динамическим (а скорее ограниченным) каким-то образом подразумевает наличие калибровочной симметрии. Однако, если невозможно определить калибровочные преобразования с помощью какой-либо четко определенной процедуры, можно ли построить самосогласованную (возможно, физически бессмысленную) теорию, в которой все компоненты $A$ считаются «наблюдаемыми»? Я предполагаю, что нет, так как эволюция во времени таких конфигураций поля оказалась бы не уникальной.

С другой стороны, в теории комплексного скалярного поля все импульсы являются динамическими, и уравнение движения фиксирует все поле на все время при разумных начальных условиях. Можно ли в этом случае считать «калибровочной симметрией» теории что-то иное, может быть, ничего, а не $U(1)$ ?

Мавзолей

Попробуйте прочитать это , особенно Раздел 1.2.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/266992/2451 и ссылки в нем.

Ответы (1)

Что такое калибровочная теория?

Попробуйте прочитать это , особенно Раздел 1.2.
Связано: physics.stackexchange.com/q/266992/2451 и ссылки в нем.

любопытный разум · Answer 1

Калибровочная симметрия — это просто преобразование симметрии действия, которое нетривиально зависит от пространства-времени. Вы можете спросить у всех физических теорий, существуют ли такие преобразования. Для случая механики частиц с конечным числом степеней свободы (где калибровочная симметрия тогда зависит только от времени) известно, что существование калибровочной симметрии эквивалентно ограничению в гамильтоновой формулировке. Такие ограничения возникают из-за того, что преобразование Лежандра лагранжиана необратимо, поэтому условие
$дет (\frac{\partial л (д, \dot{д})}{\partial \dot{д} \partial \dot{д}}) "=" 0,$ $\det\left(\frac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial\dot{q}\partial\dot{q}}\right) = 0,$ с $L$ лагранжиан и $q,\dot{q}$ обобщенные координаты обнаруживают наличие калибровочных симметрий. Очень хорошим справочником по ограниченному гамильтонову представлению о калибровочных теориях и их квантовании с помощью БРСТ-процедуры является книга Хенно и Тейтельбойма «Квантование калибровочных систем» .
Когда физик говорит о «калибровочной теории», он обычно не имеет в виду тот самый общий случай «теории с калибровочной симметрией» из пункта 1 (но иногда это имеет в виду — обратите внимание на контекст!). Они часто имеют в виду теорию с калибровочным полем , например теорию Янга-Миллса (см. также этот мой ответ ) или теорию Черна-Саймонса . «Спор» о том, является ли «ОТО калибровочной теорией», проистекает из того факта, что «калибровочное поле» ОТО — это символы Кристоффеля, которые считаются нединамическими полями, полученными из метрики, если только вы не используете формализм Палатини . $\mathrm{U}(1)$ .
Это довольно глубокий результат квантовой теории поля, что каждое безмассовое векторное поле является калибровочным полем, для очень краткого обзора рассуждений см. последнюю часть этого моего ответа . Ограничение $\pi^0 \approx 0$ для канонического импульса, связанного с $A^0$ не является особенностью калибровочной теории, это просто особенность всех векторных полей - даже массивное векторное поле "страдает" от этого ограничения. Это ограничение, конечно, формально также порождает некоторую калибровочную симметрию в смысле пункта 1, но эта симметрия легко устраняется путем фиксации калибровки. Ограничение, которое делает электромагнетизм «калибровочной теорией», является вторичным ограничением , возникающим из условия согласованности. $\dot{\pi}^0 \approx 0$ , который дает $\partial_i \pi^i \approx 0$ , что является законом Гаусса! ¹ Вместе с калибровочной фиксацией для первого преобразования полуфиксированная теория безмассового векторного поля имеет известную остаточную калибровочную симметрию $A^i \mapsto A^i + \partial^i \epsilon$ для любой функции $\epsilon$ . Еще раз, если вы хотите изучить это формально подробно, я рекомендую книгу Хенно/Тейтельбойма, в которой примером максвелловской теории является глава 19.
«Легко» искусственно ввести в гамильтониан дополнительные степени свободы, которые являются избыточными, что приводит к ограничению гамильтоновой теории и, следовательно, к действию, развивающему калибровочные симметрии, см. этот мой ответ . Также «легко» ввести калибровочные поля в лагранжиан, просто объявив все поля незаряженными в любой калибровочной группе, которую вы хотите, и добавив к действию соответствующий член Янга-Миллса. Конечно, это совершенно бесполезно, так как эти поля ни с чем не взаимодействуют и их можно просто опустить.

^{¹ Обратите внимание, что это нарушает предполагаемую симметрию между уравнениями электрического и магнитного полей - в формализме действия с векторным потенциалом в качестве динамической переменной закон Гаусса не является уравнением движения, он выполняется до решения уравнений движения! См. также этот мой ответ .}

Большое спасибо за ваш ответ. Книга Хенно и Тейтельбойма давно была у меня на примете, наверное, пора ее прочитать. Я думаю, что я узнал из вашего ответа, а также из ссылки, предоставленной Qmechanic в его втором комментарии к вопросу, что калибровочная теория в стандартной терминологии может означать разные вещи, и некоторая теория, являющаяся калибровочной теорией, не эквивалентна ей. калибровочные преобразования. Насколько я понимаю далее, согласно вашему определению каждая теория поля имеет калибровочные симметрии. Я не уверен, что понимаю критерий.
Если есть функция из пространства полей к себе, $\phi\mapsto\phi'$ , как решить, зависит ли это нетривиально от пространства-времени? Явное требование» $\phi'(x)$ должно зависеть только от $\phi(x )$ " (эквивалентно, учитывая преобразование и значение поля в одной точке $x$ можно вычислить преобразованное значение поля в $x$ ) - это не то, что хотят определить тривиальной зависимостью. Преобразование Пуанкаре не удовлетворяет вышеуказанному требованию. Если сказать, что «существует $y$ такой, что $\phi'(x)$ зависит только от $\phi (x)$ где $y$ можно вывести из карты преобразования?
@AdomasBaliuka Общее (бесконечно малое) преобразование поля, зависящее от функции параметра $\epsilon(x)$ выглядит как $\delta\phi = \epsilon (\Delta \phi) + (\partial^\mu \epsilon) (\Delta \phi)_\mu + (\partial^\mu \partial^\nu \epsilon) (\Delta \phi)_{\mu\nu}+\dots$ , где $\Delta\phi_{\mu_1\dots\mu_n}$ некоторые выражения (многочлены) в полях. Калибровочное преобразование — это преобразование, при котором $\epsilon$ не является постоянным.
Это самое общее преобразование к первому порядку? Я в недоумении, как бы вы написали нелокальные (которые я не знаю, как определить, просто примеры) преобразования в такой форме. Скажем, например $\phi\mapsto$ преобразование Фурье $\phi$ или какое-либо другое интегральное преобразование, возможно, нелинейное. Обычно такие преобразования не рассматриваются, но я думаю, что это не имеет значения, или, в качестве альтернативы, я хотел бы определить, какие виды преобразований полезно рассматривать и ПОЧЕМУ.
@AdomasBaliuka Обратите внимание, что я написал бесконечно малый . Что-то вроде преобразования Фурье не имеет инфинитезимальной версии, это дискретное, а не непрерывное преобразование. Мы часто рассматриваем только непрерывные преобразования/симметрии в физике, потому что первая и вторая теоремы Нётер требуют таких непрерывных симметрий.
Тогда как насчет свертки с гауссовой шириной $\epsilon$ ? Эта операция действует как идентификатор для $\epsilon \to 0$ и поэтому должна иметь бесконечно малую версию?! В основном я озадачен, почему $\delta\phi(x)$ зависит только от значений и производных от $\epsilon$ и значения $\phi$ В ТО ЖЕ МЕСТО $x$ . Можете ли вы указать на источники, которые освещают такие преобразования в некотором общем? Я видел только примеры.
@AdomasBaliuka Кажется, вы используете «локальный» / «нелокальный» не так, как физики: локальное преобразование в физическом смысле - это то, где $\epsilon$ не является постоянным. (Никто не называет другие «нелокальными», вместо этого они «глобальные».) Ваши «нелокальные преобразования», такие как свертки с гауссианом, просто не то, что физики учитывают, когда думают о «симметрии действия». Если вы хотите знать, почему нет, то это совсем другой вопрос, и вы должны задать его отдельно.

Что такое калибровочная теория?

Адомас Балюка

Мавзолей

Qмеханик

Ответы (1)

любопытный разум

Адомас Балюка

Адомас Балюка

Любопытный Разум

Адомас Балюка

Любопытный Разум

Адомас Балюка

Любопытный Разум

Есть ли хорошая идея, откуда берутся неабелевы калибровочные симметрии?

Можем ли мы сделать представление Дирака калибровочной теорией?

Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Вызывает ли электромагнитное калибровочное преобразование U(1)U(1)U(1) преобразование поля?

Является ли искусственное калибровочное поле калибровочным полем?

Изменяет ли введение калибровочного поля в лагранжиан комплексной скалярной теории поля его динамику?

Ковариантность в калибровочных теориях: почему лагранжиан должен быть калибровочно-инвариантным?

Локальные и глобальные симметрии

Взаимодействие для КЭД с заряженными скалярными частицами

Вопрос о калибровочных преобразованиях нелинейной сигма-модели