Локальные и глобальные симметрии

Question

Локальные и глобальные симметрии

Эдвард Хьюз

Может ли кто-нибудь указать мне направление математически строгого определения локальных симметрий и глобальных симметрий для данной (классической) теории поля?

Эвристически я знаю, что глобальные симметрии «действуют одинаково в каждой точке пространства-времени», тогда как локальные симметрии «зависят от точки пространства-времени, в которой они действуют».

Но это выглядит как-то неудовлетворительно. Ведь симметрия Лоренца для скалярного поля $\psi(x)\rightarrow \psi(\Lambda^{-1}x)$ условно называется глобальной симметрией, но и явно $\Lambda^{-1}x$ зависит от $x$ . Так что наивное применение приведенных выше афоризмов не работает!

Я собрал следующее определение из разных источников, включая этот . Я думаю, что это неправильно, и я путаю разные принципы, которые еще не ясны в моей голове. Согласны ли люди?

Глобальная симметрия — это симметрия, возникающая в результате действия конечномерной группы Ли (например, группы Лоренца, $U(1)$ )

Локальная симметрия — это симметрия, возникающая из-за действия бесконечномерной группы Ли.

Если это так, то как вы относитесь к локальной симметрии электромагнетизма? $A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\lambda$ как действие группы Ли?

Qмеханик

Ваш пример (v3) называется глобальной симметрией, потому что

Λ

$\Lambda$ не зависит от

x

$x$ .

Ответы (1)

Локальные и глобальные симметрии

Ваш пример (v3) называется глобальной симметрией, потому что $\Lambda$ не зависит от $x$ .

пользователь1504 · Answer 1

Предложенные вами определения не совсем корректны. Я набросаю правильные определения, но на самом деле не буду их давать, потому что не знаю, как вы выбираете определение классической теории поля.

Группа локальных симметрий — это группа преобразований симметрии, позволяющая по-разному изменять систему в разных местах пространства/времени.

Симметрия является глобальной (в контексте теории поля), если она действует одинаково в каждой точке.

Локальные симметрии обязательно бесконечномерны, если только пространственно-временное многообразие не состоит из конечного числа точек (что происходит в калибровочной теории решетки). Глобальные симметрии обычно конечномерны. Теории поля, имеющие бесконечное множество глобальных симметрий, либо очень интересны, либо не очень интересны, в зависимости от того, с кем вы общаетесь.

Калибровочные симметрии обычно являются локальными симметриями. Они не должны быть. Вы можете оценить глобальное $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ , если вы в настроении. Но наиболее полезными калибровочными симметриями являются те, которые позволяют нам описывать физику электромагнетизма и ядерных сил в терминах переменных с локальным взаимодействием. Наше описание гравитации в терминах метрического тензора также включает калибровочные симметрии. Возможно, это больше озадачивает, чем полезно.

Позволять $\Sigma$ быть пространство-время, наверное $\mathbb{R}^{3,1}$ . Локальная симметрия $1$ -форма описания электромагнетизма есть действие группы $\mathcal{G} = \{ \lambda: \Sigma \to U(1) \}$ на полевом пространстве $\mathcal{F} \simeq \Omega^1(\Sigma)$ , в котором $\lambda$ отправляет 1-форму $A$ к $1$ -форма $\lambda \dot{} A$ дается на каждом $x$ в $\Sigma$ по

(λ \dot{} А)_{мю} (Икс) знак равно А_{мю} (Икс) + λ^{- 1} \partial_{мю} λ (Икс) .

$(\lambda \dot{} A)_\mu(x) = A_\mu(x) + \lambda^{-1}\partial_\mu \lambda(x).$ Группа калибровочных преобразований — это подгруппа

G_{0}

$\mathcal{G}_0$ функций, переходящих в тождество на бесконечности. Очевидно, мы не можем ничего измерить в электромагнитных явлениях, которые зависят от

F

$\mathcal{F}$ а также

G

$\mathcal{G}$ , кроме как через частное

F / G_{0}

$\mathcal{F}/\mathcal{G}_0$ .

Можете ли вы указать пример измеряемого глобального $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ пожалуйста? Звучит интересно.
Отличный ответ. Я мог бы добавить, что многие физики используют несколько иное определение «калибровочной группы». Вместо того, чтобы рассматривать пространство карт (которое бесконечномерно) $M\rightarrow G$ в качестве калибровочной группы люди обычно называют $G$ калибровочная группа (обычно конечномерная).
@MichaelBrown: Глупый пример: предположим, вы хотите описать классическую механику частицы на $\mathbb{R}P^2$ . Карты в $\mathbb{R}P^2$ вероятно, проще всего рассматривать как карты для $S^2$ , по модулю очевидного глобального действия $Z/2$ .
@Хейдар: Да. Я избегал использования этого термина. Но я согласен: хорошим соглашением будет называть калибровочную группу для целевого пространства, группу локальных преобразований для отображений в это пространство и группу калибровочных преобразований для подгруппы локальных преобразований, которые на самом деле являются калибровочными преобразованиями (теми, которые обращаются в нуль при бесконечность).
... а затем я отредактировал ответ, включив в него условия...
Чудесный ответ - это многое прояснило, большое спасибо!
@user1504: Только один вопрос, почему ваш $\lambda$ должны сопоставить в $U(1)$ ? Был бы более общий $\lambda$ с целевым пространством $\mathbb{C}$ не работает по какой-то причине?
@EdwardHughes: обратите внимание, что я сделал опечатку в последнем уравнении. Забыл фактор $\lambda^{-1}$ , что делает второй член равным $\partial_\mu \operatorname{ln}(\lambda(x))$ . $\lambda$ не должен принимать значения в $\mathbb{C}^\times$ , потому что тогда мы будем добавлять формы с комплексными значениями к действительным формам после того, как уже решили представлять калибровочное поле с помощью 1-форм с действительными значениями.
Ах да, теперь это имеет больше смысла! Ваше здоровье!
@user1504: Вы говорите, что можете оценить глобальное значение ℤ/𝟚ℤ. Меня смущает использование глагола «калибр» в этом контексте. Что делать, если вы что-то оцениваете?
@Friedrich: Для краткости я объясню в классической физике. Если у вас есть группа $G$ действует в пространстве $H$ истории, чтобы «оценить» $G$ означает рассмотреть другую классическую систему, пространство историй которой есть фактор $H/G$ .

Локальные и глобальные симметрии

Эдвард Хьюз

Qмеханик

Ответы (1)

пользователь1504

Майкл

Гейдар

пользователь1504

пользователь1504

пользователь1504

Эдвард Хьюз

Эдвард Хьюз

пользователь1504

Эдвард Хьюз

Фридрих

пользователь1504

Примеры «оценки глобальной симметрии»

Физическая разница между калибровочными симметриями и глобальными симметриями

Инвариантность меры функциональной интеграции

Есть ли хорошая идея, откуда берутся неабелевы калибровочные симметрии?

Можем ли мы сделать представление Дирака калибровочной теорией?

Вопрос по креплению манометра

Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Вызывает ли электромагнитное калибровочное преобразование U(1)U(1)U(1) преобразование поля?

Что такое калибровочная теория?

Является ли искусственное калибровочное поле калибровочным полем?