Физически неприемлемые решения углового уравнения КМ

Question

Физически неприемлемые решения углового уравнения КМ

Арете

Я читаю учебник Гриффитса «Введение в квантовую механику», 3-е изд. [1]. На стр.136 автор поясняет:

Но ждать! Уравнение 4.25 (угловое уравнение для $\theta$ -часть) является дифференциальным уравнением второго порядка: оно должно иметь два линейно независимых решения при любых старых значениях $\ell$ и $m$ . Где все остальные решения? (Одна из них связана с ассоциированной функцией Лежандра.) Ответ: Они , конечно, существуют как математические решения уравнения, но они физически неприемлемы, потому что взрываются при $\theta=0$ и/или $\theta=\pi$ (см. задачу 4.5).

В задаче 4.5 я могу найти, что функция $A\ln[\tan (\theta/2)]$ удовлетворяет $\theta$ уравнение для $\ell=m=0$ . И такая функция взрывается при $\theta=0$ и $\theta=\pi$ .

Но почему такая функция физически неприемлема ? Чтобы волновая функция была физически приемлемой, она принципиально должна быть интегрируемой с квадратом. И $\ln[\tan (\theta/2)]$ на самом деле!

\int_{0}^{π} [п [загар (θ / 2)]]^{2} грех θ г θ "=" \frac{π^{2}}{6}

$\int_{0}^\pi [\ln[\tan (\theta/2)]]^2\sin\theta \text d\theta= \frac{\pi^2}6$

Для случая корректной функции имеет смысл установить условие функции «конечное» и «интегрируемое с квадратом» эквивалентно. В этом случае, хотя $\ln[\tan (\theta/2)]$ взрывается в $\theta=0$ и $\theta=\pi$ , он по-прежнему интегрируем с квадратом, прирученный $\sin \theta$ срок. Таким образом, его можно нормализовать, чтобы удовлетворить статистическую интерпретацию Борна. Но автор говорит, что такая функция физически неприемлема, поэтому интересно, почему.

Ссылка

Гриффитс, ди-джей; Шретер, Д. Ф. Введение в квантовую механику, 3-е изд.; Издательство Кембриджского университета, 2018 . ISBN 978-1107189638.

Гул

Условием квантовомеханической волновой функции является квадратичная интегрируемость. Это не условие в E&M.

опыт ikx

Разве волновая функция не должна быть непрерывной, чтобы быть физически приемлемой?

Ответы (2)

Физически неприемлемые решения углового уравнения КМ

Условием квантовомеханической волновой функции является квадратичная интегрируемость. Это не условие в E&M.
Разве волновая функция не должна быть непрерывной, чтобы быть физически приемлемой?

Qмеханик · Answer 1

Мы в принципе пытаемся решить угловую задачу ТИСЭ $^1$

{\vec{л}}^{2} Д "=" ℏ^{2} ℓ (ℓ + 1) Д, л_{г} Д "=" ℏ м Д,

$\vec{\bf L}^2Y~=~\hbar^2\ell(\ell+1)Y, \qquad {\bf L}_zY~=~\hbar m Y,$ на единицу 2-сферы

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ . Однако мы используем «тропическую» систему координат.

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ сингулярный на северном и южном полюсах

θ = 0, π

$\theta=0,\pi$ . Следовательно, мы должны, строго говоря, также решить ТИСЭ в математически четко определенных «арктических/антарктических» координатных окрестностях северного и южного полюсов, соответственно, и посмотреть, сможем ли мы склеить локальные решения вместе в глобальное решение на

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ . Не удивительно

^{2}

$^2$ , «арктические/антарктические» координатные решения не имеют особенностей на полюсах. Таким образом, склейка невозможна, если тропический

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ координатное решение отображает особенности в

θ = 0, π

$\theta=0,\pi$ , т.е. такие особенности физически недопустимы.

--

$^1$ Здесь мы придерживаемся дифференциально-геометрической формулировки с использованием волновых функций. Конечно, существует также хорошо известная алгебраическая формулировка с использованием лестничных операторов, которую мы здесь рассматривать не будем.

Мы можем предположить , что $\ell\geq 0$ . Однозначность волновой функции $Y$ подразумевает, что постоянная $m\in\mathbb{Z}$ является целым числом. Его диапазон $|m|$ ограничен $\ell$ по физическим причинам. В частности, отсюда следует, что при фиксированном $\ell$ , число независимых тропических решений конечно.

$^2$ В конце концов $Y$ решения должны поддерживать $SO(3)$ ковариация. Напомним, что тропические решения $Y$ не имеют особенностей и разрывов во внутренних точках. По сути, это гладкие карты в интерьере. Это может быть получено, например, с помощью аргумента начальной загрузки, как это сделано в моем ответе Phys.SE здесь . Формулировка с использованием слабых решений не меняет основного вывода.

Тогда арктическое/антарктическое решение должно быть линейной комбинацией конечного числа $90^{\circ}$ -повернутые тропические решения для соответствующей задачи с ${\bf L}_z$ заменены, скажем, ${\bf L}_x$ . Конечная сумма не может иметь внутренних особенностей. $\Box$

1. Является ли термин «арктические/антарктические координаты» четко определенным техническим термином, относящимся к уникальной системе координат? Или это просто относится к любой системе координат, домен которой включает окрестности Северного/Южного полюса?
В любом случае, я нахожу этот ответ менее ясным, чем хотелось бы, чтобы этот аргумент был. 2. Означает ли это «сингулярность» неоднородность или включает любое место, где решение уходит в бесконечность? Если второе, то почему исключаются особенности, интегрируемые с квадратом (даже в гладкой системе координат)?
Привет @Emilio Pisanty: Спасибо за отзыв. 1. Последнее. 2. Я обновил ответ.
Позвольте мне подытожить. Мы на самом деле $L^2 \psi =0$ . Где $L^2$ является самосопряженным, так что $\psi$ должно принадлежать его области самосопряженности. $L^2$ является оператором Лапласа на $S^2$ а область самосопряженности есть второе пространство Соболева. В силу эллиптической регулярности каждое решение должно быть классическим и гладким. Гладкость относится к гладкому атласу на $S^2$ . Если вы перейдете от сферических координат к локальным гладким координатам вокруг каждого полюса, вы увидите, что наше решение-кандидат не является гладким. Поэтому он не может принадлежать области самосопряженности $L^2$ .
Я думаю, что это правильно, но всего этого нельзя понять, просто объявив, что вариант решения "физически неприемлем". Если $L^2$ были заменены неэллиптическим оператором, все рассуждения были бы ложными. Я думаю, что комментарий к книге очень вводит в заблуждение...
Я нахожу такого рода утверждения (я имею в виду книгу) довольно опасными, а вопрос ОП очень здоровым: он / она совершенно прав, поднимая этот вопрос. Я полагаю, что эти утверждения вызывают дрейф в сторону совершенно ложных чувств. Когда я был студентом, я часами анализировал и доказывал ошибочность подобных идей. Некоторые авторы не знают , почему некоторые утверждения верны, и для всего сообщества было бы гораздо безопаснее избегать неправильных представлений. Здесь дело в «эллиптической регулярности» (спасибо Qmechanic). Это так напрямую связано с физикой?
Привет @Valter Moretti: Спасибо за отзыв. Я обновил ответ.
Примечания на потом: $\int_{0}^{π} грех θ г θ п^{2} загар \frac{θ}{2} "=" \int_{р_{+}} \frac{4 т г т}{(1 + т^{2})^{2}} п^{2} т "=" \int_{р_{+}} \frac{г с}{2 (1 + с)^{2}} п^{2} с "=" \int_{р} \frac{г^{2} г г}{8 {чушь}^{2} \frac{г}{2}} "=" \frac{π^{2}}{6} .$ $\int_0^{\pi}\! \sin\theta \mathrm{d}\theta \ln^2\tan\frac{\theta}{2}~=~\int_{\mathbb{R}_+}\! \frac{4t\mathrm{d}t}{(1+t^2)^2} \ln^2t~=~\int_{\mathbb{R}_+}\! \frac{\mathrm{d}s}{2(1+s)^2} \ln^2s~=~\int_{\mathbb{R}}\! \frac{z^2\mathrm{d}z}{8\cosh^2\frac{z}{2}}~=~\frac{\pi^2}{6}.$ Действительно конечно.

NDewolf · Answer 2

Как упоминалось в ответах на Как узнать, является ли волновая функция физически приемлемым решением уравнения Шредингера? следует также потребовать квадратичной интегрируемости производных высших порядков. В вашем случае это уже не работает для первой производной.

Физически неприемлемые решения углового уравнения КМ

Арете

Ссылка

Гул

опыт ikx

Ответы (2)

Qмеханик

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Qмеханик

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Qмеханик

Qмеханик

NDewolf

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Как узнать, является ли волновая функция физически приемлемым решением уравнения Шрёдингера?

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Эквивалентность волновой функции и обозначения Диракета

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний