Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Question

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Арбитр

Предположим, у нас есть атом водорода

ЧАС "=" \frac{п_{р}^{2}}{2 м} + \frac{л^{2}}{2 м р^{2}} - \frac{е^{2}}{р} .

$H ~=~ \frac{p_r ^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} -\frac{e^2}{r} \,.$ И решили уравнение Шредингера найти

Е_{н} "=" - \frac{м е^{4}}{2 ℏ^{2} н^{2}}

$E_n = - \frac{me^4}{2 \hbar ^2 n^2}$ и

Ψ_{н л м} "=" р_{Е, л} (р) Д_{л м} (ф, θ) .

$Ψ_{nlm}~=~R_{E,l}\left(r\right) Y_{lm}\left(φ,\, θ\right)\,.$ Использование заряда

e

$e$ в качестве параметра довольно легко использовать теорему Хеллмана – Фейнмана :

\frac{г Е_{λ}}{г е} "=" ⟨ Ψ_{н л м} | \frac{г ЧАС}{г λ} | Ψ_{н л м} ⟩,

$\frac{\mathrm{d}E_λ}{\mathrm{d}e}~=~\left< Ψ_{nlm} \, \middle| \, \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}λ} \, \middle| \, Ψ_{nlm} \right> \,,$ найти

⟨ \frac{1}{r} ⟩

$\left< \frac{1}{r} \right>$ . Теперь я пытаюсь найти правильный способ сделать «то же самое», чтобы найти

⟨ \frac{1}{r^{2}} ⟩

$\left< \frac{1}{r^2} \right>$ .

Я нашел следующее решение (в википедии):

Чего я не понимаю, так это почему мы можем использовать радиальную часть $H_l$ как написано в решении, а не весь гамильтониан? Я это понимаю $L^2$ действует только на $Y_{lm}$ давать $\hbar^2 l(l+1) Y_{lm}$ , но я не понимаю, как мы можем получить это упрощение в

⟨ р_{Е, л} (р) Д_{л м} (ф, θ) | \frac{г ЧАС}{г л} | р_{Е, л} (р) Д_{л м} (ф, θ) ⟩ .

$\left< R_{E,l}\left(r\right) Y_{lm} \left(φ,\, θ\right) \, \middle| \, \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}l} \, \middle| \, R_{E,l} \left(r\right) Y_{lm} \left(φ, \, θ \right) \right> \,.$ Разве гамильтониан не должен сначала воздействовать на

Y_{l m}

$Y_{lm}$ быть зависимым от

l

$l$ в первую очередь?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /14780/2451

Ответы (2)

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Связанный: физика.stackexchange.com/q /14780/2451

Qмеханик · Answer 1

Как только мы решили рассмотреть состояния с определенным азимутальным квантовым числом $\ell$ , то есть неприводимое представление трехмерной группы вращений $SO(3)$ , то $SO(3)$ Казимир оператор $\vec{L}^2$ действует как собственное значение $\hbar^2\ell(\ell+1)$ .

оневал · Answer 2

Просто рассмотрите радиальный гамильтониан как гамильтониан сам по себе. Итак, вы хотите вычислить наблюдаемую, которая, грубо говоря, зависит только от радиального поведения.

В качестве альтернативы вы всегда можете начать с полного гамильтониана, взять частные производные по любому параметру, который вы хотите, и вы придете к тому же ответу, поскольку теорема Хеллмана-Фейнмана все еще применима для $\hat{H}$ и $\hat{H}_\ell$

Взяв радиальный гамильтониан, мы можем заменить $L^2$ с его собственными значениями тогда? Мне это не кажется тривиальным, как точно определить «радиальный гамильтониан»?
Определите его (по значению $\ell$ если хотите) как написано в Википедии. Доказательство в основном выполняется шаг за шагом.

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Арбитр

Qмеханик

Ответы (2)

Qмеханик

оневал

Арбитр

оневал

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Физически неприемлемые решения углового уравнения КМ

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Можно ли восстановить гамильтониан, зная его волновую функцию основного состояния?

Одиночный электрон в цепочке из двух атомов: факторизация гильбертова пространства по внешним и внутренним степеням движения

«Хорошие состояния» в вырожденной теории возмущений

Действительно ли гамильтонов оператор временной эволюции изменяет состояние системы?

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?