Физика потока газа, выходящего из воздушного шара

1. Да.
2. Вам нужно решить две задачи.

Во-первых, учитывая естественный радиус сферической мембраны$R_0$(радиус без натяжения мембраны) и текущий радиус мембраны$R$, модуль упругости мембраны$E$и коэффициент Пуассона$\mu$, рассчитать растягивающее напряжение в мембране. Если рассмотреть бесконечно малый квадрат (со стороной$\delta l_0$) сферической мембраны без растяжения толщиной$d_0$, в настоящее время это будет квадрат со стороной$\delta l=\delta l_0\frac{R}{R_0}$. Напряжение напряжения$\sigma$расширит площадь в двух направлениях. Расчет напряжения растяжения от деформации (используя модуль упругости и коэффициент Пуассона и предполагая, что материал мембраны изотропен) является стандартной задачей, см., например, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_ratio , хотя вы можете пожелать найти лучший источник. Точное значение коэффициента Пуассона не имеет большого значения.

Во-вторых, учитывая напряжение растяжения, рассчитайте дифференциальное давление в равновесии. Для этого рассмотрим условие равновесия половины сферической мембраны:$(p_i-p_o)\pi R^2=2\pi R d\sigma$(при условии, что мембрана тонкая:$d_0<<R_0$).

Хорошо, спасибо всем за ваши комментарии. Вот как я решил это, но я не совсем уверен, что мои рассуждения верны. Любая обратная связь будет здорово!

В поисках материалов по теории сосудов под давлением я нашел это: http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect05.d/IAST.Lect05.pdf

В конце концов, есть пример с надуванием баллонов, где они получают выражение, связывающее внутреннее давление с расширением, наблюдаемым на диаметре.

$\beta =$$D_f\over{D_0}$

Где$D_f$окончательный диаметр и$D_0$это начальный диаметр.

Выражение, относящееся$p_i$и$\beta$зависит от$\nu$, постоянная Пуассона материала. я предполагаю$\nu = 0.5$как хорошее приближение для резины. С этим значением я получил следующее выражение:

$p_i =$$8.E.t_0.(\beta-1)+D_0.p_0.(2-\beta^3).\beta\over{D_0.\beta^4}$

Где$t_0$толщина мембраны баллона в начале, когда баллон имеет диаметр$D_0$и внутреннее давление$p_0$.$E$- модуль Юнга для каучука. Это проблема, поскольку эластичность резины сильно нелинейна. Поискав в Интернете, я решил приблизить это значение к 1,0 МПа (я нашел ссылки, в которых говорится, что латекс$E$варьируется от 0,5 до 1,1 МПа).

Ну, вывод формулы выше предполагает, что внешнее давление равно нулю. Из-за этого я предположил, что могу сказать$p_i$действительно представляет перепад давления ($\Delta p=p_i - p_o$) между внутренним и внешним давлением, действующим на мембрану баллона.

Я не уверен, что это правильно, но предполагаю, что это так, так как мне кажется, что внешнее давление действует только как компенсация состояния внутреннего давления, а напряжение на мембране баллона зависит только от деформация, вызванная расширением его диаметра (которое будет контролироваться внешним давлением, но не будет зависеть от него в стоимостном выражении).

Сказав это, я определил значения переменных следующим образом:

$E = 1.0MPa$

$t_0 = 300um$

В характеристиках баллона, который я собираюсь использовать, указано, что диаметр в едва надутом состоянии составляет 1,44 м. Я предполагал, что это будет мой$D_0$, что значит$p_0 = 0$(поскольку он едва надут).

Я хотел знать пропускную способность потока во время, близкое к разрыву. В спецификациях мне дали диаметр взрыва: 9,10 м. Я выбрал это как мой$D_f$. Затем я получил$\beta = 6.25$.

Решив уравнение, я получил$\Delta p= 5.73Pa$. Это будет давление, с которым мембрана воздушного шара будет сжимать гелий внутри. Это может дать мне оценку потока в этих экстремальных условиях.

Что ж, с перепадом давления я применил принцип Бернулли, чтобы оценить скорость газа, если бы я открыл клапан. Я знаю, что условия, в которых находится газ, могут заставить Бернулли просто не работать, но, по крайней мере, я могу получить приблизительное значение для размышлений.

Из принципа Бернулли, учитывая пренебрежимо малую потенциальную энергию, связанную с высотой:

$p_i + 0.5\rho v_i^2 = p_o + 0.5\rho v_o^2$

Где$i$нижний индекс обозначает переменные на внутренней стороне баллона и$o$внешний.$v_i$скорость внутри баллона относительно его мембраны. Я предполагаю, что это ноль. Перестановка и замена$p_i - p_o = \Delta p$:

$v_o = \sqrt{2\Delta p \over{\rho_{he}}}$

Я знаю, что объем при разрыве$4\over 3$$\pi (D_f/2)^3 = 394.6m^3$и я знаю из начальных условий, что общая масса гелия была примерно 0,49 кг (от начального объема$3m^3$и судьба$0.1634 Kg/m^3$). Предполагая отсутствие утечек гелия на протяжении всего полета, плотность гелия в момент взрыва будет:

$\rho_{he} =$$0.49\over{394.6}$$= 0.00124 kg/m^3$

С этим значением я получил$v_o = 96.1 m/s$, что является очень большим значением.

Предполагая, что горлышко баллона имеет диаметр 3 см (так оно и есть) и что газ может свободно течь через него, я оценил расход:

$A_{neck} = \pi.(0.015m)^2 = 7.07 x 10^{-4} m^2$

$q = A.v_o = 0.0679 m^3/s = 67.9 L/s$

Это очень ВЫСОКИЙ поток. Что касается результатов по скорости и потоку, я предполагаю, что я, должно быть, сделал что-то не так. Может быть, я просто слишком упростил вещи. Или, может быть, это близко к правильному, и это было бы хорошей новостью, так как я мог бы уменьшить диаметр горловины, используя клапан по своему желанию. В любом случае, я понимаю, что эта проблема намного сложнее, чем изображено здесь. Например, эти значения будут верны только для того времени, когда я открыл клапан. Чтобы увидеть всю динамику, мне нужно было бы использовать дифференциальные уравнения, поскольку диаметр, объем и давление меняются со временем, изменяя все остальное. Я просто хотел почувствовать, какой поток я могу получить.

У кого какие мысли по этому решению? Могу ли я доверять этому, хотя бы слабо? У меня такое чувство, что я, возможно, сделал что-то очень глупое. :/