Фонон как преобразование Фурье

В дальнейшем я буду использовать одномерную атомную цепочку в качестве канонической иллюстрации (трехмерное обобщение не имеет значения для обсуждения).

1. Почему фононы имеют энергию гармонического осциллятора?$E=\hbar\omega(n+1/2)$?

Атомы в кристалле взаимодействуют друг с другом через заданный потенциал связи$U(x)$который имеет минимум. Такой минимум устанавливает положение каждого атома при нулевой температуре так, что он образует решетку, в которой атомы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.$a$. Если вас интересуют низкоэнергетические свойства такой системы, каждый отдельный потенциал$U$можно разложить в квадратичную форму вокруг своего минимума:

$$U(x)\sim \frac{\kappa}{2}x^2,\quad\text{with}\;\kappa>0$$ Позволять $\{x_j(t),\dot{x}_j(t)\}$быть положением и скоростью $j$й атом. Тогда низкоэнергетический лагранжиан, описывающий систему $N$атомов, взаимодействующих со своими ближайшими соседями, гласит: $$L=\sum_{j=1}^N \frac{m}{2}\dot{x}_j^2-\frac{\kappa}{2}(x_{j+1}-(x_j+a))^2$$ Определение $\phi_j$как смещение атома от положения равновесия так, что $x_j(t)=\phi_j(t)+ja$, теперь лагранжиан читается так: $$L=\sum_{j=1}^N \frac{m}{2}\dot{\phi}_j^2-\frac{\kappa}{2}(\phi_{j+1}-\phi_j)^2$$ В непрерывном пределе, где $|\phi_{j+1}-\phi_j|\ll a$, уместно определить атомарное классическое поле $\phi(x,t)$такой, что: $$L=\int_0^L\mathrm{d}x\;\mathcal{L}(\phi,\partial_x\phi,\dot{\phi})=\int_0^L\mathrm{d}x\;\frac{m}{2}\dot{\phi}^2-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\phi)^2$$ где $L=Na$это длина цепи и $\mathcal{L}$лагранжева плотность. Здесь может быть интересно отметить, что уравнение движения Лангранжа $\partial_\phi\mathcal{L}-\partial_x(\partial_{\partial_x\phi}\mathcal{L})-\partial_t(\partial_{\dot{\phi}}\mathcal{L})=0$дает вам волновое уравнение: $$(m\partial_t^2-\kappa a^2\partial_x^2)\phi(x,t)=0$$ то есть мы знаем, что решением уравнения движения одномерной цепочки атомов являются звуковые волны , т.е. классические коллективные возбуждения движения атомов с дисперсионным соотношением $\omega_k=\sqrt{\frac{a^2\kappa}{m}}k$.

С помощью преобразования Ленжендра, аналогично классической точечной механике, мы можем вычислить соответствующий гамильтониан$H$:

$$H=\int_0^L\mathrm{d}x\;\mathcal{H}(\phi,\partial_x\phi,\pi)=\int_0^L\mathrm{d}x\;\frac{\pi^2}{2m}-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\phi)^2$$ где $\pi=\partial\mathcal{L}/{\partial\dot{\phi}}$канонический импульс, связанный с $\phi$, и $\mathcal{H}$– плотность гамильтониана.

Отныне вся работа ведется в рамках классической механики. Попасть в квантовую версию одномерной цепочки атомов можно с помощью процедуры квантования классического гамильтониана$H$. Он заключается в замене классических полевых сопряженных координат$\{\phi(x),\pi(x')\}=\delta(x-x')$по квантово-сопряженным координатам указанные некоммутирующие операторы $\left[\hat{\phi}(x),\hat{\pi}(x')\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta(x-x')$.

Тогда плотность гамильтониана, описывающая квантовую одномерную атомную цепочку, выглядит следующим образом:

$$\mathcal{H}=\frac{\hat{\pi}^2}{2m}-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\hat{\phi})^2$$ Мы почти закончили; в этот момент мы можем провести вычисления в пространстве Фурье для операторов, используя обозначения $\hat{A}=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k \hat{A}_k e^{\mathrm{i}kx}$: $$\mathcal{H}=\sum_k \frac{1}{2m}\hat{\pi}_k\hat{\pi}_{-k}+\frac{m\omega_k^2}{2}\hat{\phi}_k\hat{\phi}_{-k}$$ где $\omega_k^2=\frac{a^2k^2\kappa}{m}$.

Плотность гамильтониана практически идентична плотности обычного квантового гармонического осциллятора . Вот почему без потери общности можно определить связанные операторы создания/уничтожения$\hat{a}^\dagger_k$и$\hat{a}_k$и найти, что:

$$\mathcal{H}=\sum_k \hbar\omega_k\left(\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k+\frac{1}{2}\right)$$ Здесь мы получаем, что гамильтониан квантовой одномерной цепочки атомов описывает систему как суперпозицию независимых гармонических осцилляторов. То, что мы называем фононом, — это квантовое коллективное возбуждение , объясняющее низкоэнергетическое поведение квантовой одномерной цепи (точно так же, как звуковые волны объясняют низкоэнергетическую динамику классической системы). Единственное, что идентифицирует фонон как «частицу», — это его энергия, вернее, его закон дисперсии. $\hbar\omega_k$. Таким образом, определить, сколько энергии находится в системе, эквивалентно подсчету количества фононных мод. $\omega_k$заполняются через счетные операторы $\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k$. Важно отметить, что фононы не имеют реального объективного существования, они просто удобные инструменты для нас, чтобы понять, как работает квантовая одномерная атомная цепочка.

2. Почему факторы Больцмана применимы к фононам, как если бы они были частицами?

Распределение Больцмана применимо только к фононам «при высокой температуре». Так как может быть любое количество$n_k$фононов, заполняющих энергетическое состояние$\omega_k$, это предполагает, что фононы имеют бозонную природу , так что их распределение энергии при тепловом равновесии на самом деле является распределением Бозе-Эйнштейна $f_B(\omega_k)$. Однако вы можете видеть, что в пределе$\omega_k\ll k_BT$,$f_B(\omega_k)\sim\exp(-\hbar\omega_k/k_BT)$.

3. Можно ли рассматривать саму обработку как своего рода преобразование Фурье движения атомов?

Как было показано ранее, гамильтониан квантовой одномерной цепочки идентифицируется как суперпозиция независимых гармонических осцилляторов. Здесь очень важно не путать движение отдельных атомов, которое носит колебательный характер (но связано с соседними через$U$) с коллективным движением атомов, которое также носит колебательный характер, где эти моды$\omega_k$не сопряжены друг с другом. На самом деле, с того момента, как мы взяли лимит$|\phi_{j+1}-\phi_j|\ll a$мы допускаем, что индивидуальное движение каждого движения не имело значения и удобнее было понимать движение атомов как коллективное поле$\phi$.