Понимание того, что такое распределение Бозе-Эйнштейна

Распределение не означает автоматически вероятностное распределение - скорее, в случае статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна мы говорим о распределениях по энергии/частоте . Например, легко увидеть, что они не нормализуются, если проинтегрировать по энергии.

Распределение Ферми-Дирака можно интерпретировать как вероятность того, что состояние с данной энергией занято или пусто, но эта интерпретация проблематична с распределением Бозе-Эйнштейна, которое может принимать значения больше 1.

я бы так не сказал$D\left(\omega\right)$учитывает количество фононов; Я бы сказал, что это объясняет количество колебательных (фононных) мод при данной энергии. Фонон — это единица энергии в колебательном режиме. Затем,$\left<n\right>$это среднее число фононов в данной колебательной моде (что сказал Сэмюэл Вейр).

Таким образом, подынтегральная функция представляет собой энергию фонона$\hbar \omega$умноженное на среднее число этих фононов в моде$\left<n\right>$раз плотность мод при этой энергии$D\left(\omega\right)$.

Для заданной частоты колебаний$\omega$, средняя энергия этой моды колебаний равна:

$$E_\omega = \frac{1}{Z} \sum_{n=0}^\infty \left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar \omega \, e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} \tag{1}$$ где$Z$это нормализация вероятности (также известная как статистическая сумма) $$Z = \sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} = e^{-\beta\frac{1}{2}\hbar \omega}\sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta n \hbar \omega} \right\}=e^{-\beta\frac{1}{2}\hbar \omega} \frac{1}{1-e^{-\beta\hbar \omega}}=\frac{1}{e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2}} \tag{2}$$

Используя уравнение (2), чтобы выразить уравнение (1) как

$$\begin{align*} E_\omega &= -\frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta} \sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}\\ &= -\frac{\partial }{\partial \beta} \left\{ -\ln \left(e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2} \right)\right\} \\ &=\frac{e^{\beta\hbar \omega/2}+e^{-\beta\hbar \omega/2}}{e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2}}\frac{1}{2}\hbar \omega = \coth\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right)\frac{1}{2}\hbar \omega \end{align*}$$ Поэтому для фиксированного$\omega$, средняя мода колебаний фонона$\langle n \rangle$: $$\langle n \rangle = \frac{E_\omega}{\hbar\omega} = \frac{1}{2} \coth\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right).$$

Затем рассмотрим все различные частоты колебаний

$$U = \int_0^{\omega_D} E_\omega D(\omega) d\omega \tag{3}$$ где$D(\omega)$есть плотность состояния как число мод колебаний между$\omega$и$\omega + d\omega$.

По-видимому, будет принята модель Дебая, известная как акустическая мода.$^1$Он предполагает линейную дисперсию

$$\omega = v_s k.$$ где$v_s$это скорость звука.

Следовательно, одномерная плотность состояния

$$D(\omega) = \frac{L}{2\pi}\frac{dk}{d\omega}= \frac{L}{2\pi v_s}$$ $L$это длина системы.

В уравнении (3), есть еще один параметр,$\omega_D$, частота Дебая, определяемая как верхний предел частоты среза для рендеринга общего количества мод, равного общему количеству осциллятора (атомов или количеству ячеек).

$$N = \int_0^{\omega_D} D(\omega) d\omega = \int_0^{\omega_D} \frac{L}{2\pi v_s} d\omega = \frac{L}{2\pi v_s} \omega_D.$$

Поэтому

$$\omega_D = 2\pi v_s \frac{N}{L}.$$

*1. The other well known model is the Einstein model, which is easier

$$D(\omega) = \delta(\omega - \omega_o).$$ также известный как оптическая мода фонона.