Приведенный kk\mathbf{k}-вектор в первой зоне Бриллюэна

Question

Приведенный kk\mathbf{k}-вектор в первой зоне Бриллюэна

Дэвид К.

Границы первой зоны Бриллюэна находятся на волновых векторах $\mathbf{k}= \pm \pi / a$ , так что нормальная дисперсионная кривая выглядит примерно так:

Общепринято определять $\mathbf{k}$ векторы с тремя координатами: $(k_x, k_y, k_z)$ . Эти координаты возникают из-за использования сокращенных координат волнового вектора, как указано в Dove Introduction to Lattice Dynamics , стр. 23:

Общепринятой практикой является определение волнового вектора как нормализованного первым вектором обратной решетки, лежащим вдоль направления волнового вектора. Это дает шляпу, называемую приведенным волновым вектором . Для нашего одномерного примера приведенный волновой вектор имеет значение $1/2$ на границе зоны Бриллюэна, полученной делением волнового вектора $a^*/2$ вектором обратной решетки. Таким образом, как и большинство других исследователей, мы обычно показываем дисперсионные кривые с приведенными волновыми векторами от 0 до 1/2, отмечая, что для непримитивных элементарных ячеек некоторые границы зон встречаются с приведенными значениями волнового вектора, равными 1.

У меня проблемы с получением приведенного волнового вектора, например на первой границе зоны Бриллюэна, $\mathbf{k} = \pi / a$ , я не понимаю, почему эта точка в обратном пространстве $a^*/2$ .

ной

Что

a *

$a*$ здесь?

Дэвид К.

@Майкл Если

a

$a$ - вектор прямой пространственной решетки,

a^{*}

$a^{*}$ - вектор решетки обратного пространства

насу

Тогда это должно быть очевидно. Граница зоны Бриллюэна проходит через середину вектора обратной решетки длиной а*. См. снова ячейку Вигнера-Зейтца. БЗ является ячейкой WS в обратном пространстве.

ной

Действительно ли этот вопрос о том, почему первая граница зоны Бриллюэна находится на полпути к первой точке обратной решетки (во всяком случае, в направлении плотнейшей упаковки)?

Дэвид К.

@ Майкл Да ... (большое спасибо за все усилия)

Гарип

Не ответ, но обратите внимание, что размер БЖ

(a^{*} / 2) - (- a^{*} / 2) = a^{*}

$(a^*/2)-(-a^*/2) = a^*$

ной

Я отредактировал свой ответ, дайте мне знать, если что-то еще неясно.

Ответы (1)

Приведенный kk\mathbf{k}-вектор в первой зоне Бриллюэна

@Майкл Если $a$ - вектор прямой пространственной решетки, $a^{*}$ - вектор решетки обратного пространства
Тогда это должно быть очевидно. Граница зоны Бриллюэна проходит через середину вектора обратной решетки длиной а*. См. снова ячейку Вигнера-Зейтца. БЗ является ячейкой WS в обратном пространстве.
Действительно ли этот вопрос о том, почему первая граница зоны Бриллюэна находится на полпути к первой точке обратной решетки (во всяком случае, в направлении плотнейшей упаковки)?
@ Майкл Да ... (большое спасибо за все усилия)
Не ответ, но обратите внимание, что размер БЖ $(a^*/2)-(-a^*/2) = a^*$
Я отредактировал свой ответ, дайте мне знать, если что-то еще неясно.

ной · Answer 1

Это просто масштабирование осей в $k$ -космос. Поскольку в вашем 1D-примере первая точка обратной решетки находится в $2\pi/a$ , деля точку на границе зоны Бриллюэна на это значение, получаем $1/2$ , как указано в тексте. Итак, точка $a^*/2$ есть не , как вы предположили, положение границы зоны Бриллюэна в приведенных единицах, а граница в не приведенных единицах.

я предполагаю $a^* \equiv 2\pi/a$ - длина вектора обратной решетки, поскольку в данном контексте это имело бы смысл.

Изменить 1

Для фононов причина, по которой граница зоны Бриллюэна находится на полпути к первой точке обратной решетки, заключается в том, что самая короткая длина волны, которую вы можете иметь, — это изменение знака от одного атома к другому. Представьте себе цепочку атомов, где первый вверху, второй внизу и третий снова вверху. Нет более короткой длины волны, чем эта. Мы также знаем, что решения представляют собой плоские волны (в простейшем случае), что означает (1D) $s(x) = \mathfrak{Re}(A\cdot e^{ikx})$ , где $s(x)$ - амплитуда атома в положении $x$ и $A$ - максимальная амплитуда колебаний. Для этого менять знак от сайта к сайту, $k\overset{!}{=}\pi/a$ , в чем вы можете легко убедиться.

О том, как построить первую зону Бриллюэна, можно прочитать в любой книге по физике твердого тела. Вы просто проводите линии от начала координат до каждой точки обратной решетки и делите их пополам плоскостью, перпендикулярной линии. Каждая точка, до которой вы можете добраться, не пересекая ни одну из этих плоскостей, находится в первой зоне Бриллюэна, а сами плоскости являются границами.

Редактировать 2

Зона Бриллюэна построена таким образом, что достаточно учесть все $k$ -точки внутри него, так как можно показать, что они эквивалентны точкам снаружи. Мы знаем, что волны имеют блочную форму

с (Икс) "=" е^{я к а} ты (Икс)

$s(x) = e^{ika} u(x)$ где

u (x)

$u(x)$ имеет периодичность решетки. Из этого выражения мы видим, что

k a

$ka$ дает вам фазовый переход от одного узла решетки к другому. Если сейчас

k a

$ka$ больше, чем

π

$\pi$ , сказать

π + Δ

$\pi+\Delta$ , эта точка на

k

$k$ -ось эквивалентна

- π + Δ

$-\pi+\Delta$ , потому что

e^{i (π + Δ)} = e^{i (π + Δ - 2 π)} = e^{i (- π + Δ)}

$e^{i(\pi+\Delta)}=e^{i(\pi+\Delta -2\pi)}=e^{i(-\pi+\Delta)}$ . Итак, мы видим, что глядя на

k

$k$ - указывает до

π / a

$\pi/a$ достаточно для всех свойств, потому что точки снаружи имеют эквивалентную точку внутри. А по построению обратной решетки (ее первая точка в положительном направлении находится в точке

2 π / a

$2\pi/a$ ), это именно в

a^{*} / 2

$a^*/2$ .

В моем 1D-примере первая точка обратной решетки не $2 \pi /a$ , но в $\pi /a$
Сам "вектор" $\frac{2\pi}{a}$ . Зона Бриллюэна заканчивается на половине этого значения.
Нет... В 1D, учитывая $a$ вектор в прямом пространстве, в обратном пространстве $a^{*}$ и имеет длину $2 \pi /a$ ; потому что так строятся обратные векторы ( $2 \pi \cdot \text{inverse of length}$ )
@DavidC. Вы сами сказали, граница зоны Бриллюэна находится на $\pi/a$ но поскольку зоны Бриллюэна построены, это на полпути к первой точке обратной решетки.
@noah Я согласен, что для цепочки атомов, в которой один находится «вверху», а другой «внизу» (представьте это как сферическую $s$ орбиталей, волновая функция которых меняет знак), выполняется, когда $k = \pi / a$ , как это очень хорошо объяснено в статье Хоффмана ( onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/anie.198708461/pdf ), рис. 7. Однако это не означает, что граница зоны в обратном пространстве расположена на $a^{*} / 2$
Вы как будто отвергаете идею, что этот факт просто следует из того, как устроены зона Бриллюэна и обратная решетка. Я попытался объяснить это во втором редактировании.
@noah And by construction of the reciprocal lattice (its first point in the positive direction is at 2π/a), this is precisely at a∗/2.В реальном пространстве первая точка решетки в положительном направлении находится в $a$ . В обратном пространстве первая точка решетки в положительном направлении находится в $a^{*} = 2 \pi / a$
Вы просто повторяете мое утверждение. $\pi/a$ находится на половине $2\pi/a$ , поэтому граница находится в $a^*/2$

Приведенный kk\mathbf{k}-вектор в первой зоне Бриллюэна

Дэвид К.

ной

Дэвид К.

насу

ной

Дэвид К.

Гарип

ной

Ответы (1)

ной

Дэвид К.

насу

Дэвид К.

ной

Дэвид К.

ной

Дэвид К.

ной

Зачем нам нужно квантование для колебаний решетки?

Фонон как преобразование Фурье

Почему квантование волнового вектора фонона не связано с квантовой механикой?

Что на самом деле представляет собой волновой вектор в контексте фононов и колебаний решетки?

Закон дисперсии вблизи зон Бриллюэна - Периодические потенциалы

Почему звуковые волны связаны с модами, подчиняющимися закону линейной дисперсии?

Сколько атомов содержится в примитивной элементарной ячейке алмаза?

kkk-интервал для первой зоны Бриллюэна

Понимание технических особенностей квантования упругих волн

Почему фононы являются бозонами, если они не могут занимать одно и то же собственное состояние?