Почему фононы являются бозонами, если они не могут занимать одно и то же собственное состояние?

На вопрос «что такое квантовая частица — фонон, фотон, электрон, бозон Хиггса?» спросили, то ответ должен быть

--- и здесь для конкретности я заменю слово "квантовая частица" на фонон ---

Один фонон — это первое и низшее (выше основного состояния) возбуждение квантового поля — здесь кристаллической решетки.

2 фонона являются вторым возбуждением кристаллической решетки.

$n$фононы - это$n^{\text{th}}$возбуждение кристаллической решетки.

Что это значит? Если нет фононов, то нет и возбуждения, поэтому мы находимся в основном состоянии. На самом деле кристаллическая решетка содержит не только один тип осцилляторов, она содержит мириады различных осцилляторов, которые могут возбуждаться или не возбуждаться. Мы дадим каждому осциллятору «индекс», называемый «$k$". Таким образом, принимая во внимание, что существует множество различных осцилляторов, полная энергия этих осцилляторов (в основном состоянии) равна$\sum_k \frac{\hbar \omega_k}{2}$(основное состояние имеет ненулевую энергию, явление, которое обычно является квантовым.)

Но если у нас уже есть ненулевое возбуждение решетки в осцилляторе, скажем$l$, то полная энергия системы равна:

Предположим, что у нас есть второе возбуждение в решетке, и даже такое, которое происходит в том же осцилляторе.$l$как первый, мы получаем полную энергию:

и если у нас есть$n$возбуждения в том же осцилляторе$l$тогда полная энергия будет равна:

Обратите внимание, что все возбуждения до сих пор происходят в одном и том же осцилляторе.$l$, все они находятся в одном и том же состоянии, которое мы можем аккуратно назвать$l$.

Но на самом деле возбуждение может произойти в любом из множества осцилляторов. В том случае, если у нас есть 1 возбуждение в генераторе$l$и еще один в осцилляторе$m$тогда полная энергия будет равна:

С другой стороны, если мы рассмотрим только один осциллятор$k$и смотреть только на его возбуждения, то общую формулу для энергии можно свести к приведенной в посте (для общности считаем$n$возбуждения, где$n$может быть нулем (основное состояние, фононов нет), 1 (один фонон) или даже 2, 3, 4, ... фононов):

Мы забываем об энергии основного состояния других осцилляторов, потому что в данном конкретном рассмотрении они не играют никакой роли (а уровень энергии всегда можно адаптировать к нашим потребностям (вспомните определение потенциальной энергии в гравитационном поле)) .

Итак, чтобы резюмировать:

$k$индексирует или различает различные состояния внутри кристалла, тогда как$n$измеряет уровень возбуждения. Помните, что возбуждения квантуются. Таким образом, каждый раз, когда возбуждение увеличивается на 1 квант (т. е. на 1 фонон), энергия увеличивается на$\hbar\omega_x$.$x$здесь указывается осциллятор, в котором происходит возбуждение, которым может быть любой осциллятор из множества различных. Повышение уровня возбуждения означает увеличение числа фононов. Повышение уровня (бозонного) возбуждения может происходить как в одном осцилляторе, так и в разных осцилляторах.

Почему каждый фонон занимает собственное состояние с разным$n$число?

Нет, это собственное состояние занимает не каждый фонон . Его$n$фононы той же моды с частотой$\omega$которые занимают это состояние. Это единое государство с$n$фононы. Добавьте еще один фонон, и вы увеличите$n$к$1$. Уберите фонон, и вы уменьшите$n$к$1$. $n$переменная считает фононы.

Описываемые собственные состояния — это так называемые числовые состояния — состояния с определенным числом фононов. Могут быть суперпозиции из них, например$(|n=3\rangle+|n=4\rangle)/\sqrt2$, так что вы можете получить состояния с неопределенным числом фононов. Полезным примером такого нечислового состояния является когерентное состояние .

Также обратите внимание, что все это обсуждение касается только одной единственной моды фононного поля. Более реалистичные ситуации, такие как, например, волновые пакеты, описываются состояниями, в которых возбуждаются несколько мод. Но каждый из этих режимов по-прежнему ведет себя так, как описано в вашем учебнике.

Фононы в одной и той же моде занимают одно и то же собственное состояние, тогда как$n$число относится к набору фононов, т. е. к их полной энергии. То есть для любого$n$(невзаимодействующие) бозоны, занимающие одинаковое энергетическое состояние$E_0$, их полная энергия будет$nE_0$.

Там нет ничего, что указывало бы на то, что каждый фонон (бозон) должен занимать собственное состояние с разными$n$.

Вы можете создать любое количество идентичных возбуждений, постоянно применяя лестничный оператор. То, что написано выше, просто утверждает, что система будет иметь энергию, заданную выражением$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$где каждая мода с частотой$\omega$имеет$n$фононы.