Формула замедления времени против преобразования Лоренца со световым сигналом

Я не понимаю, когда правильно использовать формулу замедления времени.$\Delta \tau=\frac{\Delta t}{\gamma}$или преобразование Лоренца$c\Delta t = \gamma (c\Delta t-\beta \Delta x)$, особенно когда дело доходит до определения событий для этой задачи.

Космический корабль покидает Землю со скоростью 0,99с. Если он находится на расстоянии 3 * 10 ^ 11 м, когда Земля посылает на него световой сигнал, сколько времени потребуется сигналу, чтобы достичь корабля а) для наблюдателя на Земле и б) для пассажира на корабле?

Для а) никакой специальной теории относительности не требуется, и вы получаете 100 000 секунд для перспективы Земли.

Для б) я пытался сделать это двумя способами:

1. Согласно формуле замедления времени, 100 000 секунд для Земли составляют 14 106 секунд для корабля (используя$\gamma = 7.088$)

2. Определение координат для каждого события и использование преобразования. Я позволяю S быть рамкой Земли, а S' — рамкой корабля, где время начинается, когда корабль покидает Землю. Событие 1 — это когда Земля посылает сигнал после того, как корабль находится далеко от Земли ($t_1, x_1$) = (1010, 0). Событие 2 — когда сигнал достигает корабля ($t_2, x_2$"="$101010, 3*10^{13}$). Однако, если вы используете преобразование, вы получите другое$\Delta t'=7090$.

Я попытался использовать диаграмму Минковского, и разница, похоже, сводится к тому, помещаете ли вы событие 1 на ось Земли (x = 0) или на ось корабля (x = 3 * 10 ^ 11). Однако обе линии рассуждений звучат для меня верными.

Что мне здесь не хватает? Какой из них действительно правильный? Большое спасибо всем, кто может помочь!