Сценарий замедления времени + сокращения длины

Ответ @JEB совершенно правильный, я просто хотел бы добавить свой собственный взгляд на эту проблему.

Рекомендуется всегда начинать с преобразований Лоренца при решении таких задач в специальной теории относительности, так как слепое использование формул для сокращения длины и замедления времени приведет к таким «парадоксам», которые возникают из-за того, что не учитываются четко сделанные предположения . которые приводят нас к формулам сокращения длины и замедления времени.

Предположим, мы называем систему отсчета, в которой трубка покоится$S^\prime$, и рамка "Земля"$S$. Учитывая два события в$S$,$(x_2, t_2)$и$(x_1, t_1)$, если мы хотим найти соответствующие события в$S^\prime$,

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x^\prime &= \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right),\\ \Delta t^\prime &= \gamma \left(\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right). \end{aligned} \end{equation}$$

Однако в вашей задаче вам даны события в$S^\prime$и хотел бы найти соответствующие события в$S$. В результате нам нужно использовать «обратные» преобразования Лоренца:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x &= \gamma \left(\Delta x^\prime + v \Delta t^\prime\right),\\ \Delta t &= \gamma \left(\Delta t^\prime + \frac{v}{c^2}\Delta x^\prime\right), \end{aligned} \end{equation}$$

который можно получить, алгебраически манипулируя предыдущими уравнениями.

Теперь рассмотрим события:

1. Событие 1: Свет покидает излучатель.
2. Событие 2: Свет достигает детектора.

Понятно, что с точки зрения человека,$S^\prime$, эти два события разделены пространственным расстоянием$\Delta x^\prime = 100$м, и происходят через интервал$\Delta t^\prime = 1$с.

Таким образом, пространственные и временные интервалы, наблюдаемые кем-то в$S$являются:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x &= \gamma \left(100 + 80 \times 1\right) = \gamma \times 180 \text{m},\\ \Delta t &= \gamma \left(1 + \frac{80}{100^2}\times 100\right) = \gamma \times 1.8 \text{s}, \end{aligned} \end{equation}$$

ВАЖНО: Обратите внимание, что$\Delta t \neq \gamma \Delta t^\prime$, и$\Delta x \neq \Delta x^\prime/\gamma$! Мы вернемся к тому, почему это так, ниже, но это причина вашего ошибочного ответа.

Во всяком случае, используя эти значения$\Delta x$и$\Delta t$, мы видим, что

$$c = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\gamma\times 180}{\gamma \times 1.8} = 100 \text{m/s}$$

---

Почему мы не можем использовать здесь стандартные формулы сокращения длины и замедления времени?

• Для объяснения предположений, заложенных в формуле замедления времени, см. мой ответ здесь .

• Точно так же для объяснения предположений в формуле сокращения длины см. мой ответ здесь .

Назовем концы трубы:$L$($R$) для передающей (приемной) стороны. Назовем временные события: Tx (Rx) для времени передачи (приема).

Есть 4 релевантных пространственно-временных события, которые я покажу в кадре трубки как$(t'/{\rm s}, x'/{\rm m})'$(заштриховано для движущейся рамы, которая движется вместе с трубой).

Первые три релевантных события:

1. $(0, 0)'$:$L$в Тх
2. $(1, 100)'$:$R$в Rx
3. $(1, 0)'$:$L$в Rx

Чтобы вычислить скорость света, вам нужно вычислить разницу между (1) и (2):

$$c' = \frac{100{\rm m}}{1 {\rm s}} = 100 {\rm m/s}$$

Теперь давайте добавим их в стационарную систему координат с совпадающими началами:

1. $(0, 0)$:$L$в Тх
2. $(3, 300)$:$R$в Rx
3. $(1.67, 133.3)'$:$L$в Rx

Нештрихованная скорость света равна:

$$c = \frac{300{\rm m}}{3 {\rm s}} = 100\, {\rm m/s}$$

который работает.

Обратите внимание на нештрихованные координаты (3), где находится левый конец трубки, когда свет попадает в трубчатую (штрихованную) рамку. Это то, что вы рассчитали в 1-й части вашего процесса. Обратите также внимание, что это не одновременно с приемом в кадре Земли, что означает, что вы слишком рано остановили свои часы и получили слишком высокую скорость после добавления расстояния сжатой трубки.

Если вы посмотрите на 4-е событие, положение правого конца трубки ($R$) просто$\frac 1 {5^{th}}$секунды в эксперименте:

4. $(0.2, 1)'$: R в то же время без штриха, что и (3)

в земной (незагрунтованной) системе отсчета:

4. $(1.67, 1.93)$: R в то же время без штриха, что и (3)

именно то, что вы вычислили.

И это было: время между передачей света и положением приемника на Земле, время, совпадающее с положением передатчика в трубе, время, совпадающее с окончательным обнаружением света.

Очевидно, что диаграмма Минковского была бы весьма полезна, чтобы действительно понять гиперболическую геометрию происходящего.

Наконец: когда всплывает парадокс или головоломка специальной теории относительности, как эта, это чаще всего вызвано относительностью одновременности. Пространственно разделенные события не являются одновременными во всех кадрах.