Формулировка функции Грина в квантовой механике

Я думаю, что должно быть возможно восстановить собственные значения энергии только из двухточечной функции. Для$t_2 \geq t_1$, используя это$H \left|0\right\rangle = 0$, У меня есть:

$$\left\langle 0 \middle| \,\hat{x}(t_2) \, \hat{x}(t_1)\, \middle| 0 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \,e^{i \delta t H}\, \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle = \sum_n e^{i \delta t E_n}\, \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle =: G(\delta t)$$ где $\delta t = t_2 - t_1 \geq 0$, $\hat{x} := \hat{x}(0)$и $\left| n \right\rangle, E_n$являются собственными векторами/собственными значениями энергии. С $\alpha_n := \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle$реально , у нас есть $G(-\delta t) = \overline{G(\delta t)}$, так мы знаем $G$для всех $\delta t \in \mathbb{R}$. Тогда его преобразование Фурье будет суммой дельт Дирака, локализованных в $E_n$с, с амплитудами $\alpha_n$.

Я думаю, больше информации можно получить, посмотрев на$3$-точечные функции и т. д., в конечном итоге восстанавливая полную информацию о теории из ее функций Грина.

Чтобы дать немного контекста, эту проблему можно рассматривать как детскую версию реконструкции КТП из ее интеграла по траекториям (а-ля теорема реконструкции Остервальдера-Шредера ).