Условия для определения функции Грина для явлений рассеяния

Question

Условия для определения функции Грина для явлений рассеяния

Физика
рассеяние
зеленые функции
квантовая механика
граничные условия

Золото

Рассмотрим упругое рассеяние частиц потенциалом $V$ в квантовой механике. В зоне влияния потенциала гамильтониан можно записать в виде

ЧАС "=" {ЧАС}_{0} + В,

$H = H_0 + V,$

существование $H_0$ гамильтониан свободной частицы. Уравнение на собственные значения для гамильтониана $H$ таким образом

ЧАС | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩,

$H|\psi\rangle = E|\psi\rangle,$

и если $E = \hbar^2 k^2/2\mu$ , мы можем переписать это в представлении положения как:

(\nabla^{2} + к^{2}) ψ "=" U ψ,

$\left(\nabla^2+k^2\right)\psi=U\psi,$

существование $U = 2\mu V/\hbar^2$ . Это уравнение можно решить методом функций Грина. Общее решение для определенного $k$ является

ψ_{к} (р) "=" ψ_{к}^{0} (р) - \frac{1}{4 π} \int г (р, р^{'}) U (р^{'}) ψ_{к} (р^{'}) г^{3} р^{'},

$\psi_k(\mathbf{r})=\psi_{k}^0(\mathbf{r})-\dfrac{1}{4\pi}\int G(\mathbf{r},\mathbf{r}')U(\mathbf{r}')\psi_k(\mathbf{r}')d^3\mathbf{r}',$

существование $\psi_k^0$ решение свободного уравнения, т. $H_0|\psi_k^0\rangle = E|\psi_k^0\rangle$ и где $G$ является функцией Грина, удовлетворяющей:

(\nabla^{2} + к^{2}) г (р, р^{'}) "=" - 4 π дельта (р - р^{'}) .

$(\nabla^2+k^2)G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').$

Теперь, если мы найдем $G$ сводим задачу к интегральному уравнению. Таким образом, нам нужно найти $G$ .

Моя проблема здесь заключается в следующем: найти $G$ нам нужны граничные условия задачи. Я не могу понять, однако, какие граничные условия мы должны здесь ставить.

Итак, для решения задач рассеяния с использованием таких функций Грина, какие граничные условия нам нужно наложить для вычисления функции Грина?

Я видел этот метод в некоторых заметках, и, поскольку все написано, кажется, что единственное наложенное условие заключается в том, что $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ . Это предположение дает две функции Грина:

г^{\pm} (р, р^{'}) "=" \frac{е^{\pm я к | р - р^{'} |}}{| р - р^{'} |}

$G^{\pm}(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\dfrac{e^{\pm ik |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

Это тогда кажется необходимым, чтобы получить все решения.

Является ли это единственным необходимым условием или существуют какие-либо граничные условия на $G$ ? В чем физический смысл условия $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ а зачем нам его навязывать?

любопытный разум

Поскольку вы, вероятно, хотите, чтобы ваше рассеяние происходило локально, почему бы не применить обычное «достаточно быстрое падение к бесконечности»?

Золото

Извините, но я не уверен, что понял суть. Я знаю, что мы обычно считаем, что потенциал имеет конечный диапазон, так что рассеяние происходит в определенной области. Но должны ли мы также требовать, чтобы волновая функция обращалась в нуль на бесконечности? Я не уверен, что понял, потому что по крайней мере интуитивно мне кажется, что частица может находиться далеко от области рассеяния. На самом деле в том виде, в каком я видел постановку задачи, частицы регистрируются довольно далеко от области рассеяния.

Хиггсс

См. en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_radiation_condition

Ответы (1)

Условия для определения функции Грина для явлений рассеяния

Поскольку вы, вероятно, хотите, чтобы ваше рассеяние происходило локально, почему бы не применить обычное «достаточно быстрое падение к бесконечности»?
Извините, но я не уверен, что понял суть. Я знаю, что мы обычно считаем, что потенциал имеет конечный диапазон, так что рассеяние происходит в определенной области. Но должны ли мы также требовать, чтобы волновая функция обращалась в нуль на бесконечности? Я не уверен, что понял, потому что по крайней мере интуитивно мне кажется, что частица может находиться далеко от области рассеяния. На самом деле в том виде, в каком я видел постановку задачи, частицы регистрируются довольно далеко от области рассеяния.

долун · Answer 1

«Моя проблема здесь в следующем: чтобы найти G, нужны граничные условия задачи. Я не могу понять, однако, какие граничные условия мы должны здесь ставить.

Итак, чтобы решать задачи рассеяния с помощью подобных функций Грина, какие граничные условия нам нужно наложить для вычисления функции Грина?»

Почему вы хотите установить граничное условие? Очевидно, что здесь ваша задача не имеет границ , так как вы можете обнаружить некоторые частицы очень далеко от того места, где происходит взаимодействие с потенциалом. Однако, безусловно, вам понадобится начальное условие , предоставляемое $\psi^0_\textbf{k}(\textbf{r})$ .

Я чувствую (скажите мне, если я ошибаюсь), что то, что вы подразумеваете под «граничным условием», на самом деле относится к тому, какое решение вас интересует. Как вы указали, уравнение

(\nabla^{2} + к^{2}) г (р, р^{'}) "=" - 4 π дельта (р - р^{'})

$(\nabla^2+k^2)G(\textbf{r},\textbf{r}')=-4\pi\delta(\textbf{r}-\textbf{r}')$ имеет два решения, называемых запаздывающими

G^{+}

$G^+$ и продвинутый

G^{-}

$G^-$ Зеленые функции. Это приводит к двум различным решениям вашего дифференциального уравнения:

Причинное решение:
$ψ_{к} (р) "=" ψ_{к}^{(в)} (р) - \frac{1}{4 π} \int г р^{'} г^{+} (р - р^{'}) U (р^{'}) ψ_{к} (р^{'})$ $\psi_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,G^+(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$ где $\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}\equiv \psi^{\text{0}}_\textbf{k}$ интерпретируется как входящее поле , т. е . асимптотическое поле, которое вы получаете при переходе к пределу $t\rightarrow -\infty$ и которая свободно развивается со временем. Обычно людей интересует именно это решение, потому что оно описывает событие рассеяния в результате взаимодействия с потенциалом.
Антипричинное решение:
$ψ_{к} (р) "=" ψ_{к}^{(вне)} (р) - \frac{1}{4 π} \int г р^{'} г^{-} (р - р^{'}) U (р^{'}) ψ_{к} (р^{'})$ $\psi_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,G^-(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$ где $\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}$ интерпретируется как исходящее поле , т. е . асимптотическое поле, получаемое при переходе к пределу $t\rightarrow +\infty$ и которые свободно развивались со временем из прошлого.

В обоих случаях пределы $t\rightarrow\pm\infty$ позволяют избавиться от интегральных членов и порождают различные интерпретации решений.

Вас также может интересовать только излучаемое поле, которое определяется как: $ψ_{к}^{(рад)} (р) "=" ψ_{к}^{(вне)} (р) - ψ_{к}^{(в)} (р) "=" \frac{1}{4 π} \int г р^{'} г (р - р^{'}) U (р^{'}) ψ_{к} (р^{'})$ $\psi^{\text{(rad)}}_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,\mathcal{G}(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$ с $г (р) "=" г^{+} (р) - г^{-} (р)$ $\mathcal{G}(\textbf{r})=G^+(\textbf{r})-G^-(\textbf{r})$

«Я видел этот метод в некоторых заметках, и, поскольку все написано, кажется, что единственное наложенное условие состоит в том, что $G(\textbf{r},\textbf{r}')=G(\textbf{r}-\textbf{r}')$ ."

Мне кажется, что это не имеет прямого отношения к вашей исходной проблеме. Можно независимо показать, что свойство

г (р, р^{'}) "=" г (р - р^{'})

$G(\textbf{r},\textbf{r}')=G(\textbf{r}-\textbf{r}')$ является лишь следствием того, что дисперсионное соотношение

⟨ k | H | k ⟩ = E (k)

$\langle\textbf{k}| H|\textbf{k}\rangle =E(\textbf{k})$ зависит только от величины импульса, т.е.

E (k) \equiv E (k)

$E(\textbf{k})\equiv E(k)$ , что является следствием того, что ваша система инвариантна относительно перевода.

Условия для определения функции Грина для явлений рассеяния

Золото

любопытный разум

Золото

Хиггсс

Ответы (1)

долун

Как выбрать правильную функцию Грина?

Как мы можем обосновать ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)\psi(\textbf{r})\to\psi_{in}(\ textbf{r})+\psi_{sc}(\textbf{r}) при |r|→∞|r|→∞|\textbf{r}|\to \infty, но не при конечных |r||r| |\textbf{r}|?

Как выводится уравнение Липпмана-Швингера?

Дельта-функция от полюсов функции Грина

Уравнение Липпмана-Швингера с исходящими решениями

Почему мы анализируем проблему ступенчатого потенциала в квантовой механике с ненормируемыми решениями?

Решение одномерного стационарного уравнения Шредингера с граничными условиями на пространственной бесконечности

Функция Грина в уравнении Липпмана-Швингера

iϵiϵi\epsilon в нерелятивистской теории рассеяния

Столкновения s-волн, p-волн или d-волн в теории рассеяния