Два определения функции Грина

В литературе обычно существуют два типа определения функции Грина.

  1. л ^ грамм знак равно дельта ( Икс − Икс ′ ) . Это уравнение утверждает, что функция Грина является решением ОДУ, предполагая, что источник является дельта-функцией.

  2. грамм знак равно ⟨ Т ψ ( Икс 1 , т 1 ) ψ † ( Икс 2 , т 2 ) ⟩ . Это определение утверждает, что функция Грина является чем-то вроде пропагатора .

Я хочу знать внутреннюю связь между двумя определениями.

Ответы (4)

Во-первых, термин «пропагатор» обычно определяют как функцию Грина первого, а не второго типа, т. е. как решение дифференциального уравнения л ^ грамм знак равно дельта .

Во всяком случае, эти определения в конечном счете эквивалентны — если детали записаны правильно — потому что функция Грина, определенная как коррелятор во втором определении, подчиняется первому дифференциальному уравнению.

Дифференциальный оператор л ^ это то, что появляется в линеаризованных уравнениях движения для поля, в этом случае ψ ( Икс 1 , т 1 ) , и действует только на ψ ( Икс 1 , т 1 ) , нет ψ † ( Икс 2 , т 2 ) .

Оператор упорядочения времени Т можно записать в терминах ступенчатой ​​функции

Т ( ψ ψ † ) знак равно ψ ψ † ⋅ θ ( т 1 − т 2 ) − ψ † ψ ⋅ θ ( − т 1 + т 2 )
куда ψ всегда в Икс 1 , т 1 а также ψ † я сидела Икс 2 , т 2 . Теперь спросите, что происходит, когда вы действуете с л ^ в правой части отображаемого выше уравнения.

По правилу Лейбница существуют члены с л ^ ψ знак равно 0 . Он обращается в нуль по уравнениям движения. Но есть дополнительные термины, где л ^ действует на ступенчатые функции.

Оператор л ^ содержит термин, который различает по отношению к т 1 умножить на коэффициент С . Это получается θ ( т 1 − т 2 ) к дельта ( т 1 − т 2 ) . То же самое происходит в следующем члене, но с обратным знаком, который отменяет знак, который уже был. Таким образом, дополнительные члены

л ^ Т ( ψ ψ † ) знак равно С дельта ( т 1 − т 2 ) ( ψ ψ † + ψ † ψ )
Я получил два термина, потому что было два термина. Однако эти два члена в точности сочетаются с антикоммутатором ψ а также ψ † которые нужно оценивать только для т 1 знак равно т 2 , одновременный антикоммутатор, и результат Д ⋅ дельта ( Икс 1 − Икс 2 ) .

Именно поэтому действие л ^ на корреляторе оказывается С Д дельта ( т 1 − т 2 ) дельта ( Икс 1 − Икс 2 ) где константы С , Д в основном просто факторы я и т.п.

Для бозонных полей л ^ имеет вторую производную по времени. Одна из производных имеет ту же судьбу, что и выше, другая превращает другую ф , который играет роль ψ † , в ∂ т ф который является каноническим импульсом, и это правая переменная, которая имеет дельта -функциональный коммутатор. Кроме того, промежуточный знак противоположен, но результат тот же, некоторые С Д ⋅ дельта ⋅ дельта .

Если вы включите пропагатор в уравнение движения, вы получите дельта функция. Второе «определение» — это всего лишь рецепт для вычисления функции Грина в теории свободного поля.

Другой способ найти эквивалентность — выразить функцию Грина через решения уравнения — записать ее спектральное представление:

грамм ( Икс 1 , Икс 2 , т 1 , т 2 ) знак равно ∑ н ψ н * ( Икс 1 ) ψ н ( Икс 2 ) е я Е н ( т 1 − т 2 )
или что-то вроде того.

можно также использовать уравнение G =i*propagador de particula libre Delta sub f).

Два определения функции Грина
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v