Формулировка принципа действия в общем фазовом пространстве (без кокасательного расслоения)

Question

Формулировка принципа действия в общем фазовом пространстве (без кокасательного расслоения)

действие
Физика
фазовое пространство
дифференциальная геометрия
гамильтоновский формализм
вариационный принцип

Квантовый шепот

Если мы исходим из физики, то гамильтоновский формализм обычно вводится через обобщенные координаты (которые представляют собой просто набор чисел, вставленных в вектор ( $\vec{q}$ ) и лагранжев формализм. Преобразование Лежандра лагранжиана дает гамильтониан и так далее.

В этой формулировке канонические уравнения движения

\begin{aligned} \dot{\vec{д}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п} \\ \dot{\vec{п}} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\vec{q}} = \frac{\partial H}{\partial p} \\ \dot{\vec{p}} = -\frac{\partial H}{\partial q} \end{align}$ следуют из принципа действия. Действие

\begin{aligned} \int г т (\dot{\vec{д}} \cdot \vec{п} - ЧАС (\vec{д}, \vec{п}, т)) \end{aligned}

$\begin{align} \int dt~\left( \dot{\vec{q}} \cdot\vec{p} - H(\vec{q}, \vec{p}, t)\right) \end{align}$ является стационарным относительно вариаций с

\vec{q} (t_{2})

$\vec{q}(t_2)$ и

\vec{q} (t_{1})

$\vec{q}(t_1)$ зафиксированный. Теперь я прочитал больше математических формулировок, в которых используется концепция многообразий. В некоторых случаях фазовое пространство вводится как пространство котанта над конфигурационным пространством, что означает, что

\vec{q}

$\vec{q}$ теперь представляет собой набор координат точки в конфигурационном пространстве Q (которое является многообразием),

\dot{\vec{q}}

$\dot{\vec{q}}$ является элементом касательного пространства

T_{\vec{q}} Q

$T_{\vec{q}}Q$ , и

\vec{p}

$\vec{p}$ является элементом двойственного пространства к этому касательному пространству. До сих пор не проблема записать вышеупомянутое действие таким же образом.

\dot{\vec{q}} \vec{p}

$\dot{\vec{q}}\vec{p}$ теперь уже не скалярное произведение, а приложение

\vec{p}

$\vec{p}$ к

\dot{\vec{q}}

$\dot{\vec{q}}$ , который отображается в действительное число (и что вполне логично).

Теперь мой вопрос: можем ли мы идти в ногу с формулировкой действия для случаев, когда фазовое пространство (возможно) больше не является кокасательным пространством? Например, если это просто четномерное пространство, оснащенное симплектической формой, можем ли мы каким-то образом записать действие, имеющее смысл с математической точки зрения?

Или мой вопрос не нужен, потому что каждое понятие фазового пространства, которое появляется в физике, использует фазовое пространство как кокасательное пространство?

Ответы (2)

Формулировка принципа действия в общем фазовом пространстве (без кокасательного расслоения)

Qмеханик · Answer 1

Пусть дано $2n$ -мерное симплектическое многообразие $(M,\omega)$ ,
$\begin{matrix} (1) & г ю "=" 0 \end{matrix}$ $\mathrm{d}\omega~=~0 \tag{1}$ с глобально определенной функцией Гамильтона $H: M \to \mathbb{R}$ . (Давайте для простоты предположим точечную механику без явной зависимости от времени. Построение можно обобщить на теорию поля.)
Локально в стягиваемой открытой координатной окрестности $U\subseteq M$ существует симплектическая потенциальная 1-форма
$\begin{matrix} (2) & ϑ "=" \sum_{я "=" 1}^{2 н} ϑ_{я} г г^{я} е Г (Т^{*} М |_{U}), \end{matrix}$ $\vartheta ~=~\sum_{I=1}^{2n}\vartheta_I~\mathrm{d}z^I ~\in~ \Gamma(T^{\ast}M|_U),\tag{2}$ такой, что $\begin{matrix} (3) & ю |_{U} "=" г ϑ . \end{matrix}$ $\omega|_U ~=~\mathrm{d}\vartheta .\tag{3}$
Учитывая путь $\gamma \subset U$ . Задайте локальное гамильтоново действие
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} С_{U} [γ] "=" & \int_{γ} (ϑ - ЧАС г т) \\ "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т (\sum_{я "=" 1}^{2 н} ϑ_{я} {\dot{г}}^{я} - ЧАС) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_U[\gamma]~:=~&\int_{\gamma} \left( \vartheta - H ~\mathrm{d}t\right)\cr ~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! \mathrm{d}t\left( \sum_{I=1}^{2n}\vartheta_I~\dot{z}^I -H\right). \end{align}\tag{4}$ Можно показать, что соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа (EL). являются в точности уравнениями Гамильтона. $\begin{matrix} (5) & {\dot{г}}^{я} "=" {г^{я}, ЧАС} . \end{matrix}$ $\dot{z}^I~=~\{z^I,H\} .\tag{5}$ Здесь глобально определенный бивектор Пуассона является обратным к симплектической 2-форме.
Можно глобализировать локальное действие (4) в так называемое действие Ву-Янга с помощью теоретико- пучковой конструкции на $M$ . Это, например, объясняется в Ref. 1.

Использованная литература:

Е.С. Фрадкин, В.Я. Linetsky, BFV подход к геометрическому квантованию, Nucl. физ. В431 (1994) 569 ; Раздел 3.3.

Райан Торнгрен · Answer 2

Напишем по-другому:

л "=" θ - ЧАС,

$L = \theta - H,$

где $\theta(p,q)$ является 1-формой такой, что $d\theta = \omega$ , симплектическая форма. Это называется формой Лиувилля. Для частицы на линии это $\theta = pdq$ , $d\theta = dp dq$ . На компактном многообразии нельзя взять $\theta$ быть глобально определенным, но по-прежнему возможно выполнить действие

С "=" \int л "=" \int θ - \int ЧАС

$S = \int L = \int \theta - \int H$

хорошо определен, если $\theta$ является 1-формой связи. Теперь нужно выбрать калибровку, то есть, по сути, покрытие вашего симплектического многообразия кокасательными пространствами, и следить за тем, чтобы все было калибровочно инвариантным. Фактически, $L$ будет не калибровочно-инвариантным, а голономным $S$ будет, а значит можно еще сформулировать уравнения Эйлера-Лагранжа и т.д.

Кстати, в квантовой механике $\theta$ требуется соединение на $U(1)$ пучка, что приводит к квантованию интегралов $\omega$ над закрытыми поверхностями.

Вам стоит ознакомиться с этой книгой В. Арнольда "Математические методы классической механики" (да и со всеми остальными его книгами тоже :).

Формулировка принципа действия в общем фазовом пространстве (без кокасательного расслоения)

Квантовый шепот

Ответы (2)

Qмеханик

Райан Торнгрен

Квантовое фазовое пространство

Какие есть примеры механики с глобально необобщенной симплектической структурой?

Модифицированный принцип Гамильтона, чрезмерно ограничивающий систему за счет наложения слишком большого количества граничных условий.

Как обосновывается связь между старой и новой каноническими переменными?

Уравнения Гамильтона из действия с граничными условиями, включающими положение и импульс

Вывод теории Гамильтона-Якоби с использованием канонических преобразований

Существует ли физическая интерпретация симплектических многообразий, не являющихся кокасательными расслоениями?

Независимость от положения и импульса в действии

Теорема Лиувилля об объеме на языке дифференциальных форм

Значение лагранжиана в принципе наименьшего действия?