Значение лагранжиана в принципе наименьшего действия?

Я изучал преобразование Лежандра, и было забавно увидеть, что связь между лагранжианом и гамильтонианом — это просто преобразование Лежандра, т. е.

(1) { ЧАС , п } → { л , в } .

Я впервые увидел это в этой статье: https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3119512

Эта связь преобразования Лежандра между гамильтонианом и лагранжианом удобна, поскольку подразумевает,

(2) в ≡ г ЧАС г п .

Что мы уже знаем из интуиции/формулировки гамильтониана. В любом случае, мне интересно, почему мы обязательно используем лагранжиан при расчете действия. Или, точнее, при демонстрации принципа наименьшего действия, т. е.

(3) минимизировать ( С "=" ∫ т 1 т 2 л г т ) .

Мне было проще всего следовать выводу Фейнмана для классической механики, и я смог следовать ему. Но я думаю, мой вопрос больше в том , почему функция действия использует лагранжиан, а не гамильтониан. Теперь результат приведенного выше уравнения для классической механики дает,

(4) г U г Икс "=" − м Икс ¨ .

Что самоочевидно показывает, почему лагранжиан работает в теории. Но есть ли причина, по которой нам не будет предложено вычислить следующее?

(5) С "=" ∫ т 1 т 2 ЧАС г т .

(Помимо того факта, что преобразование Лежандра говорит нам, что, вероятно, так и должно быть, С "=" ∫ т 1 т 2 ( п г ЧАС г п − ЧАС ) г т . ) Другими словами, является ли это первым просто потому, что физика непротиворечива? Или я что-то упускаю?

Не могли бы вы привести пример ответа, который вас бы удовлетворил? На каком-то уровне ответ таков: «Мы делаем это так, потому что это работает». Например, нахождение пути, для которого интеграл по времени лагранжиана является стационарным, воспроизводит законы движения Ньютона, в то время как то же утверждение неверно для интеграла по времени от гамильтониана.
@Charlie На самом деле я думаю, что это именно то, что я ищу. Только что быстро прочитал.
@Andrew Более того, теоретический вопрос, я полагаю, удовлетворительным ответом на вопрос был бы тот, который следует математике.

Ответы (1)

Как бы то ни было: предложенный ОП принцип стационарного действия (5) [при условии, что гамильтониан ЧАС ( д , п , т ) не зависит от д ˙ и п ˙ ] будет означать 1

∂ ЧАС ∂ д   ≈   0   ≈   ∂ ЧАС ∂ п ,
которые не являются уравнениями Гамильтона . Чтобы узнать о правильном гамильтоновом принципе действия, см., например, этот связанный пост Phys.SE.

--

1 The ≈ символ означает равенство по модулю EOM.

Ах хорошо. Я раньше не слышал этого термина. Благодарю за ваш ответ. Я сделал беглый поиск, но не нашел этот пост, так что это моя вина. Итак, поскольку гамильтониан — это полная энергия системы, если интегрирование всех значений по времени дает минимум, мы принимаем, что потенциальное поле равно нулю и нет скоростей (по крайней мере, в классическом понимании)?
↑ Да.
Значение лагранжиана в принципе наименьшего действия?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v