Независимость от положения и импульса в действии

Question

Независимость от положения и импульса в действии

Дрис

Почему положение и импульс независимы по отношению к гамильтонову действию $S_H$ данный

\begin{matrix} (1) & С_{ЧАС} "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} (п \dot{д} - ЧАС) г т ? \end{matrix}

$S_H = \int_{t_1}^{t_2} (p \dot q - H) dt \ \ \ ? \tag{1}$

Выводя уравнения Гамильтона из этого действия путем варьирования пути, мы предполагаем, что изменение положений $\delta q$ не зависит от изменения импульса $\delta p$ и, следовательно, мы получаем 2 $n$ уравнения. Однако в лагранжевом действии

\begin{matrix} (2) & С_{л} "=" \int_{т 1}^{т_{2}} л г т \end{matrix}

$S_L = \int_{t1}^{t_2} L dt \tag{2}$ мы показываем, что изменения положения и скорости связаны соотношением

\begin{matrix} (3) & дельта \dot{д} "=" \frac{г}{г т} дельта д \end{matrix}

$\delta \dot q = \frac{d}{dt} \delta q \tag{3}$ Как могут быть независимыми положение и импульс, но не могут быть независимыми положение и скорость в одной и той же установке? Разве скорость и импульс не одно и то же?

(Гамильтоново действие упоминалось в ответе Qmechanics на аналогичный вопрос, но я не мог показать, что положение и импульс независимы для гамильтонового действия. Любая помощь, доказывающая это, будет очень признательна.)

Чарли

q

$q$ и

\dot{q}

$\dot q$ а также

p

$p$ и

q

$q$ оба являются просто многообразными координатами, поэтому они являются априорно независимыми переменными. Этот вопрос неоднократно задавался на сайте.

Qмеханик

Привет, Дришти Гупта. Добро пожаловать в Phys.SE. Гипотетически, как вы планируете использовать формулу (1), если положение и импульс не независимы? [С другой стороны, если мы предположим , что положение и импульс независимы в формуле (1), мы можем легко вывести уравнения Гамильтона стандартными рассуждениями.]

Дрис

Привет @Qmechanic. В идеале, я думаю, я бы написал

p

$p$ как функция

q

$q$ и

\dot{q}

$\dot q$ (с использованием

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ ), а затем произвести изменение

δ p

$\delta p$ изменяя

q

$q$ в функции. я бы использовал это

δ p

$\delta p$ в 1). Но все стандартные тексты указывают на то, что это неправильно, хотя я не понимаю, почему.

Qмеханик

В (1) мы находимся в гамильтоновой формулировке, поэтому нельзя легко использовать формулу Лагранжа

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ .

Ответы (1)

Независимость от положения и импульса в действии

$q$ и $\dot q$ а также $p$ и $q$ оба являются просто многообразными координатами, поэтому они являются априорно независимыми переменными. Этот вопрос неоднократно задавался на сайте.
Привет, Дришти Гупта. Добро пожаловать в Phys.SE. Гипотетически, как вы планируете использовать формулу (1), если положение и импульс не независимы? [С другой стороны, если мы предположим , что положение и импульс независимы в формуле (1), мы можем легко вывести уравнения Гамильтона стандартными рассуждениями.]
Привет @Qmechanic. В идеале, я думаю, я бы написал $p$ как функция $q$ и $\dot q$ (с использованием $p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ ), а затем произвести изменение $\delta p$ изменяя $q$ в функции. я бы использовал это $\delta p$ в 1). Но все стандартные тексты указывают на то, что это неправильно, хотя я не понимаю, почему.
В (1) мы находимся в гамильтоновой формулировке, поэтому нельзя легко использовать формулу Лагранжа $p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ .

РастворимаяРыба · Answer 1

Лагранжева механика имеет место в конфигурационном пространстве с координатами $q$ . Лагранжиан является функцией $q$ и $\dot q$ , причем последняя является производной по времени от первой.
Гамильтонова механика имеет место в фазовом пространстве с координатами $(q,p)$ . Отношения между ними - одно из уравнения движения Гамильтона. При выводе этих уравнений движения из принципа действия у вас нет другого выбора, кроме как рассматривать их как независимые переменные. Например, с обычным $H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ , одно из уравнений Гамильтона:
$\dot{д} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п} "=" \frac{п}{м}$ $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$
Существует связь между двумя формализмами (когда кинетический термин достаточно хорош):
- из лагранжиана $L(q,\dot q)$ , выполняя преобразование Лежандра относительно $\dot q$ дает гамильтониан $H(q,p)$ так что вместе оба уравнения Гамильтона эквивалентны уравнению Эйлера-Лагранжа. Это означает, что из конфигурационного пространства с координатой $q$ и функция Лагранжа $L(q,\dot q)$ , мы можем построить фазовое пространство с координатами $(q,p)$ и функция Гамильтона на нем $H(q,p)$ таким образом, чтобы динамика $q$ по уравнениям движения Гамильтона идентичен тому, что по уравнениям движения Эйлера-Лагранжа.
- Обратное немного тоньше: из фазового пространства $(q,p)$ и гамильтониан $H(q,p)$ , возьмем преобразование Лежандра и определим функцию $L(q,v) = vp - H(q,p)$ . Новая переменная, введенная преобразованием Лежандра, фиксируется $v = \partial H/ \partial p$ поэтому по уравнению Гамильтона мы видим, что $v= \dot q$ . Следовательно, мы можем рассмотреть только конфигурационное пространство $(q)$ и пусть динамика определяется уравнениями Эйлера-Лагранжа.

О, значит, формулировка Гамильтона не предполагает никакой связи между скоростями и импульсом и фактически находит ее. Итак, поскольку мы на самом деле не используем определение импульса, которое мы определяем в лагранжиане, означает ли это, что $H = p\dot q - L$ это просто метод определения формы гамильтониана, а определения гамильтониана на самом деле не имеют ничего общего с определениями лагранжа?
Между ними существует связь (я отредактировал некоторые пояснения в своем ответе).
Немного неправильно говорить, что лагранжева механика имеет место в конфигурационном пространстве, а затем говорить, что гамильтонова механика имеет место в фазовом пространстве (как бы подразумевая, что она не связана с конфигурационным пространством), поскольку обе они являются просто реальными функциями на касательной. и кокасательные расслоения конфигурационного пространства соответственно. Ни один из них на самом деле не происходит только в пространстве конфигурации.
Что ж, гамильтонова динамика может быть выражена на общем симплектическом многообразии, одним из примеров которого является кокасательное расслоение конфигурационного пространства. Одним из важных следствий является то, что каноническое преобразование может смешивать координаты положения и импульса, что невозможно в лагранжевой механике.

Независимость от положения и импульса в действии

Дрис

Чарли

Qмеханик

Дрис

Qмеханик

Ответы (1)

РастворимаяРыба

Дрис

РастворимаяРыба

Чарли

РастворимаяРыба

Значение лагранжиана в принципе наименьшего действия?

Проблема вывода уравнения Гамильтона-Якоби из вариационного принципа

Почему общее действие должно иметь экстремум?

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Почему формула стационарного действия выражается как кинетическая минус потенциальная энергия, а не потенциальная минус кинетическая энергия?

Чем полезен принцип Мопертюи?

Каково значение действия?

Доказательство независимости лагранжиана от положения свободной частицы с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа

Должны ли быть физически возможны различные пути в действии?

Путаница в отношении принципа наименьшего действия в «Классической теории поля» Ландау и Лифшица.