Модифицированный принцип Гамильтона, чрезмерно ограничивающий систему за счет наложения слишком большого количества граничных условий.

Question

Модифицированный принцип Гамильтона, чрезмерно ограничивающий систему за счет наложения слишком большого количества граничных условий.

Физика
фазовое пространство
граничные условия
классическая механика
гамильтоновский формализм
вариационный принцип

квайли555

В гамильтоновой механике показано, что версия принципа Гамильтона развивает систему в соответствии с теми же уравнениями движения, что и лагранжиан, и, следовательно, ньютоновский формализм. В частности, позволяя $\delta$ указать вариант пути через фазовое пространство,

дельта \int_{т_{1}}^{т_{2}} (п_{я} {\dot{д}}_{я} - ЧАС (п_{я}, д_{я}, т)) д т "=" 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2} \big(p_i \dot{q}_i - H(p_i,q_i,t)\big)dt = 0$ показано, что они порождают те же уравнения движения, что и найденные преобразованием Лежандра лагранжевых уравнений движения. По существу, когда мы вычисляем уравнения Эйлера-Лагранжа для приведенного выше подынтегрального выражения, мы находим

{\dot{п}}_{я} + \frac{\partial ЧАС}{\partial д_{я}} "=" 0, {\dot{д}}_{я} - \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{я}} "=" 0.

$\dot{p}_i + \frac{\partial H}{\partial q_i} = 0\text{, } \dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i} = 0.$ Теперь, поскольку это оба уравнения движения первого порядка, нам требуется

2 n

$2n$ граничные условия для получения решения, где

n

$n$ это количество частиц. Это полностью согласуется с лагранжевым формализмом, который

2 n

$2n$ граничные условия из-за его

n

$n$ различные уравнения движения второго порядка.

Важно отметить, что, поскольку

p_{i} {\dot{q}}_{i} - H (p_{i}, q_{i}, t)

$p_i\dot{q}_i - H(p_i,q_i,t)$ не содержит

{\dot{p}}_{i}

$\dot{p}_i$ зависимость, изменение

p_{i} (t)

$p_i(t)$ не обязательно должен быть равен нулю в конечных точках пути. Это не так

q_{i} (t)

$q_i(t)$ поскольку

{\dot{q}}_{i}

$\dot{q}_i$ зависимость приводит к появлению граничных членов, которые необходимо обнулить, чтобы получить уравнения движения.

Теперь, что касается граничных условий, это имеет смысл. Чтобы путь был однозначно указан с учетом ньютоновской механики, нам требуется

2 n

$2n$ граничные условия. Это может быть либо обычный ньютоновский выбор начальных положений и скоростей/импульсов, либо они могут быть начальным и конечным положениями. Оба вполне приемлемы с математической точки зрения. Если бы от нас требовалось в модифицированном варианте принципа Гамильтона добиться того, чтобы вариации импульсов также были равны нулю в начальный и конечный моменты времени, это означало бы

2 n

$2n$ дополнительные граничные условия, которые обычно чрезмерно ограничивают ньютоновскую систему.

Однако меня смущает следующее: когда учебники (в частности, Гольдштейн) рассматривают производящие функции, они требуют, чтобы подынтегральная функция была инвариантна к добавлению полной производной функции по времени

F (q_{i}, p_{i}, t)

$F(q_i,p_i,t)$ координат фазового пространства. Однако добавление такой функции в целом добавит некоторые

{\dot{p}}_{i}

$\dot{p}_i$ зависимость от подынтегральной функции, которая затем добавит граничные члены к уравнениям движения, если только мы не потребуем, чтобы

p_{i} (t)

$p_i(t)$ вариации равны нулю на границах. Это хорошо, насколько это возможно. Мы всегда можем определить вариацию так, как нам нравится. Дело в том, что он выдает правильные уравнения движения в конце дня. Но мое замешательство заключается в том, что это обычно не слишком ограничивает систему. Если мы укажем все положения и импульсы как в начальный , так и в конечный моменты времени, не может ли требуемый путь, соединяющий эти точки в фазовом пространстве, быть неньютоновским? Имеет ли это значение только в том случае, если вы на самом деле пытаетесь использовать принцип стационарного действия для поиска путей, а не просто используете его для поиска уравнений движения?

Ответы (1)

Модифицированный принцип Гамильтона, чрезмерно ограничивающий систему за счет наложения слишком большого количества граничных условий.

Qмеханик · Answer 1

Это очень хорошие вопросы. исх. 1 и 2 не совсем согласуются по этим вопросам.

Проанализируем ситуацию. В общем случае гамильтонова версия принципа стационарного действия имеет вид

$\begin{matrix} (1) & S_{H} [z] = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t L_{H} (z, \dot{z}, t), \end{matrix}$
где $2n$ -мерное фазовое пространство имеет (не обязательно канонические) координаты $(z^1,\ldots,z^{2n})$ . Поскольку $2n$ Уравнения ЭЛ должны быть ОДУ 1-го порядка (в отличие от ОДУ более высокого порядка) , подынтегральная функция $\begin{matrix} (2) & л_{ЧАС} (г, \dot{г}, т) "=" \sum_{я "=" 1}^{2 н} А_{я} (г, т) {\dot{г}}^{я} + Б (г, т) \end{matrix}$ $L_H(z,\dot{z},t)~=~\sum_{I=1}^{2n}A_I(z,t)\dot{z}^I+B(z,t)\tag{2}$ должна быть аффинной функцией $\dot{z}$ . Бесконечно малая вариация гамильтонова действия $S_H$ имеет форму $\begin{matrix} (3) & дельта С_{ЧАС} "=" оптовые условия + пограничные условия, \end{matrix}$ $\delta S_H ~=~ \text{bulk-terms} ~+~ \text{boundary-terms},\tag{3}$ где $\begin{matrix} (4) & оптовые условия "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т \sum_{я "=" 1}^{2 н} \frac{дельта С_{ЧАС}}{дельта г^{я}} дельта г^{я} \end{matrix}$ $\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~\sum_{I=1}^{2n}\frac{\delta S_H}{\delta z^I}\delta z^I \tag{4}$ дают уравнения Гамильтона, и где $\begin{matrix} (5) & пограничные условия "=" {[\sum_{я "=" 1}^{2 н} \frac{\partial л_{ЧАС}}{\partial {\dot{г}}^{я}} дельта г^{я}]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}} "=" 0 \end{matrix}$ $\text{boundary-terms}~=~\left[\sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I}\delta z^I\right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{5}$ должен исчезнуть из-за $\begin{matrix} (6) & н начальные условия и н окончательные условия. \end{matrix}$ $n \text{ initial conditions and } n \text{ final conditions.} \tag{6}$ Поскольку есть $2\times 2n=4n$ граничные условия в уравнении (5) но только $2n$ граничных условий (ГУ) (6), не все аффинные интегранты (2) совместны. Это несоответствие лежит в основе вопроса ОП. $^1$ .
- Некоторые из $4n$ граничные члены (5) могли бы автоматически исчезнуть, если бы подынтегральная функция $L_H$ не зависит от всех точечных переменных $(\dot{z}^1,\ldots,\dot{z}^{2n})$ .
Остальные граничные члены (5) должны быть убиты ГУ (6), имеющими следующие возможности:
- Essential/Дирихле до н.э.: $\quad z^I(t_i)~=~z^I_i\quad\text{and}\quad z^I(t_f)~=~z^I_f.$
- Натуральный БК: $\quad \left.\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I}\right|_{t_i}~=~0\quad\text{and}\quad \left.\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I}\right|_{t_f}~=~0.$
- Их комбинации.
Обратите внимание, что если остальные члены больше, чем $2n$ , то некоторые из существенных и естественных БК должны быть зависимыми, т.е. играть двойную роль $^2$ .
Теперь воспользуемся каноническими координатами
$\begin{matrix} (7) & (г^{1}, \dots, г^{2 н}) "=" (д^{1}, \dots, д^{н}; п_{1}, \dots, п_{н}) . \end{matrix}$ $(z^1,\ldots,z^{2n})~=~(q^1, \ldots, q^n; p_1,\ldots, p_n).\tag{7}$ исх. 1 и 2 первоначально рассматривают гамильтонов лагранжиан формы $\begin{matrix} (8) & л_{ЧАС} "=" \sum_{Дж "=" 1}^{н} п_{Дж} {\dot{д}}^{Дж} - ЧАС (д, п, т) \end{matrix}$ $L_H~=~\sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j-H(q,p,t)\tag{8}$ с $2n$ Эссенциальные/Дирихле БК $^3$ $\begin{matrix} (9) & д^{Дж} (т_{я}) "=" д_{я}^{Дж} и д^{Дж} (т_{ф}) "=" д_{ф}^{Дж}, \end{matrix}$ $q^j(t_i)~=~q^j_i\qquad\text{and}\qquad q^j(t_f)~=~q^j_f, \tag{9}$ ср. экв. (8.65) в работе. 1 и ур. (43.8) в работе. 2. Заметим, что гамильтонов лагранжиан (8) не зависит от $\dot{p}_j$ . Подчеркнем, что импульсы $p_j$ не выполнять БК $^3$ .
Далее рассмотрим канонические преобразования (КТ). Если мы предположим, что
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \sum_{Дж "=" 1}^{н} п_{Дж} {\dot{д}}^{Дж} - & ЧАС (д, п, т) \\ "=" & \sum_{к "=" 1}^{н} п_{к} {\dot{Вопрос}}^{к} - К (Вопрос, п, т) + \frac{д Ф (д, п; Вопрос, п; т)}{д т} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j-&H(q,p,t) \cr ~=~&\sum_{k=1}^nP_k\dot{Q}^k-K(Q,P,t)+\frac{dF(q,p;Q,P;t)}{dt} \end{align}\tag{10}$ выполняется вне оболочки, то с помощью алгебраических манипуляций следует, что $\begin{matrix} (11) & уравнения Гамильтона. и уравнения Камильтона. эквивалентны. \end{matrix}$ $\text{Hamilton's eqs. and Kamilton's eqs. are equivalent.} \tag{11}$ исх. 1 и 2 применяют вариационный аргумент для вывода (10) $\Rightarrow$ (11) неправильно $^4$ предполагая сверхполный набор $4n$ БК Дирихле.
Тем не менее для ТТ типов 1-4 можно дать вариационное доказательство (10) $\Rightarrow$ (11) только предполагая $2n$ БК (9). В этом связанном с Phys.SE посте явным образом дано доказательство для типа 1.

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика; Разделы 8.5 + 9.1.
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика; $\S43 + \S45$ .

--

$^1$ Отметим, что когерентный интеграл пути состояния, как известно, накладывает $4n$ реальные БК, т.е. система перенапряжена. Другими словами, классических путей в общем случае не существует! Это связано со сверхполнотой когерентных состояний, ср. например, этот пост Phys.SE.

$^2$ Интересно, что этот вопрос не возникает для лагранжевых теорий, где $4n$ BC - это просто правильное число для $2n$ ОДУ 2-го порядка, ср. например, этот связанный пост Phys.SE.

$^3$ После того, как правильно не наложили BC на переменные импульса в тексте перед ур. (8.71), см. 1 переворачивается в тексте после ур. (8.71) и неверно утверждает, что на импульсные переменные также следует накладывать ГУ! Как уже отмечалось, это приведет к чрезмерно ограниченной системе.

$^4$ См. в тексте между уравнениями. (9.7) и (9.8) в работе. 1, а в тексте под ур. (45.5) в работе. 2.

Модифицированный принцип Гамильтона, чрезмерно ограничивающий систему за счет наложения слишком большого количества граничных условий.

квайли555

Ответы (1)

Qмеханик

Как обосновывается связь между старой и новой каноническими переменными?

Граничные условия для вариационного исчисления в фазовом пространстве и при канонических преобразованиях

Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Формулировка принципа действия в общем фазовом пространстве (без кокасательного расслоения)

Сохраняющиеся заряды/константы движения на и вне оболочки

Теорема Лиувилля в сферических координатах

Одномерная система гамильтонова система?

Есть ли связь между скобками Пуассона и матрицей Якоби?

Какие есть примеры механики с глобально необобщенной симплектической структурой?

Аналогия тензорного оператора в классической физике