Функциональная производная, равная дельта-функции Дирака QFT

Мэтт пытается помочь вам, пропуская вариацию функциональной производной δ-символа, объединяя его с обычными частными производными, но вместо этого он в конечном итоге сбивает вас с толку, хотя его формулировка кристально ясна; это не сработало.

Сначала подумайте о конечном числе x s:$x_1,x_2,x_3,...$. Соответственно, у вас есть конечномерный вектор с n независимыми компонентами,$(J(x_1),J(x_2),J(x_3), ...,J(x_n))$.

Сейчас,

$$J(x_i)=\sum_k \delta_{ki} J(x_k) \qquad \leadsto \\ {\partial J(x_i)\over \partial J(x_j)} = \delta_{ji}~.$$ Расшифровка этого для$n\to \infty$, вы получаете очевидное обобщение $$J(x)=\int \!\!dz~~\delta(x-z) ~J(z) \qquad \leadsto \\ {\delta J(x)\over \delta J(y)} = \delta(x-y)~.$$

Вы заблудились уже во второй формуле.

Mutatis mutandis работают

$${\delta \int\!\!dz~ J(z) \phi(z)\over \delta J(y)} = \phi(y)~.$$

Чтобы доказать тождество, вы должны решить, какое определение функциональной производной использовать, и это зависит от того, каким математическим объектом является поле.

Обычно поле рассматривается как гладкая функция (например, быстроубывающая функция), однако это немного усложняет разговор о функциональных производных (следует использовать так называемую производную Гато).

Более простой пример дают функции в нормированном пространстве (например, в некотором пространстве Лебега). В этом случае удобно определение производной Фреше. Так что давайте$U$быть нормированным пространством, и$f:U\to U$функция (два пространства можно считать разными, однако здесь это не имеет решающего значения для понимания). Производная Фреше$Df(u)$из$f$в какой-то момент$u\in U$линейный оператор _$T$, если такой линейный оператор существует, из$U$к$U$такое, что для любого$h\in U$,$h\to 0$,

$$f(u+h)= f(u) + Th + o(h)$$ где$o(h)$означает что-то, "что стремится к нулю быстрее, чем h", т.е. $$\lVert o(h)\rVert_U / \lVert h\rVert_U \to 0$$ как$h\to 0$.

Итак, теперь возьмем функцию тождества$\mathrm{id}:U\to U$, действующий как

$$\mathrm{id}(u)=u\;.$$ Чему равна производная Фреше функции тождества в любой точке? Сама функция тождества, конечно (то есть линейный оператор), по тривиальному тождеству $$u+h=\mathrm{id}(u+h)=\mathrm{id}(u) + \mathrm{id}(h)\;.$$

Так,$D\mathrm{id}= \mathrm{id}$(поскольку это верно в любой точке, мы забываем указывать единицу, как в обычных производных).

Физики предпочитают записывать функциональную производную, записывая интегральное ядро ​​линейного оператора, определяемого производной Фреше. Итак, обозначение

$$Df=T$$ заменен на $$\frac{\delta f(u(x))}{\delta u(y)}=t(x-y)\; ,$$ где$t(x-y)$есть интегральное ядро ​​линейного оператора$T$удовлетворяющий $$(Tu)(x)=\int t(x-y) u(y)\;.$$ В общем случае интегральное ядро ​​может быть распределением. Теперь интегральное ядро ​​тождественного оператора$\mathrm{id}$действительно$\delta(x-y)$; следовательно, по приведенному выше результату имеем, что $$\frac{\delta u(x)}{\delta u(y)}=\delta(x-y)\; .$$