Функциональные производные как распределения

Я спрашивал об этом на бирже математического стека из-за его в основном математического содержания, но, кроме одного голоса и минимального количества просмотров, он не привлек никакого внимания, поэтому я тоже пытаюсь здесь. На самом деле это не так уж и важно, но это напрягало мой затылок при изучении вариационного формализма в общей теории относительности.

"Позволять$(M,\mathcal{S},g)$быть гладким,$n$-мерное многообразие, снабженное римановой метрикой. Обозначим векторное пространство$(p,q)$-тензорные поля на$M$как$\mathcal{T}_{q}^{p}(M)$.

Позволять$\Psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathcal{T}_{q}^{p}(M),\varepsilon\mapsto\Psi(\varepsilon)$— гладкая кривая, и будем использовать обозначения где$\Psi$обозначает$\Psi(0)$.

Позволять$S:\mathcal{T}_{q}^{p}(M)\rightarrow\mathbb{R}$быть функционалом таким образом, что

$$S[\Psi]=\int_{M}\mathcal{L}(\Psi,\nabla\Psi)\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n}.$$

В этом случае мы говорим$S$функционально выводится в$\Psi$, если существует$\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\in\mathcal{T}_{p}^{q}(M)$тензорное поле, что

$$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\int_M\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\bullet\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n},$$ где $\bullet$обозначает полное сокращение.

Мои вопросы касаются технических деталей этой производной. Книги по физике обычно не налагают строгих условий на пространство тензорных полей, на котором$S$определено.

Какими структурами должно обладать это пространство, чтобы это имело смысл? Я предполагаю, что хаусдорфова топология обязательна, но нужно ли ее нормировать? Если да, то какую норму мы используем, которая не противоречит физике, или какая норма имеет смысл в физическом контексте?

Уолд упоминает в сноске, что в общем случае должно существовать тензорное распределение , так что

$$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\left\langle\frac{dS[\Psi]}{d\Psi},\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\right\rangle.$$ Возможна ли в рамках физики ситуация, когда это распределение сингулярно, т.е. не существует как интеграл?"