Действительно ли лагранжиан квантового поля является «функционалом»?

«Функциональный» также может быть отображением функции на другую функцию. Следовательно, в этом случае$L:\mathcal{F}\times\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F};(\Psi(t),\dot\Psi(t))\mapsto L[\Psi(t),\dot\Psi(t)]$,$L$отображает функции в функциональном пространстве$\mathcal{F}$в$\mathcal{F}$(это предполагает, что$\Psi(t)$достаточно хорошо контролируется, и это$L$не слишком экзотично, чтобы карта находилась в том же функциональном пространстве).

Вайнберг работает с формализмом интеграла по путям, в котором широко используется временной порядок. Когда используется временной порядок, произведения операторов временного порядка коммутируют, так что мы можем работать с операторами временного порядка , как если бы они были функциями. ИМО, Вайнберг достаточно погружен в этот образ мышления, чтобы не удерживать различие между функциональными пространствами и пространствами (некоммутирующих) операторов настолько ясным, насколько мог бы. Строго говоря, введение упорядочения по времени выводит нас за пределы математического контекста$C^\star$-алгебр и гильбертовых пространств в контексте$C^\star$-алгебры, гильбертовы пространства и временной порядок (а, возможно, и антивременной порядок). Алгебраисты до некоторой степени изо всех сил пытались включить временной порядок в привлекательную математическую систему.

Термин функциональный используется по крайней мере в двух различных значениях.

1. Одно значение находится в математической теме функционального анализа , где, в частности, изучаются линейные функционалы . Это значение не имеет отношения к обсуждению на стр. 299 в Ref. 1.

2. Другое значение находится в темах вариационного исчисления и (классической) теории поля . Именно этот смысл здесь уместен.

Поскольку мы обсуждаем только классическое действие$S$а не полный континуальный интеграл, для простоты забудем о квантовых аспектах, таких как, например,$\hbar$, гильбертовых пространств, математических ожиданий и т.д.

Предположим для простоты, что существует только одно поле$q$(которое мы по семантическим соображениям назовем полем положения), и что оно живет в$n$пространственное измерение и одно временное измерение. Поле$q$тогда является функцией$q:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$. Есть еще поле скоростей.$v:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$. Лагранжиан является локальным функционалом

$$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]~=~\int d^nx~{\cal L}\left(q(x,t),\partial q(x,t),\partial^2q(x,t), \ldots,\partial^Nq(x,t);\right.$$ $$\left. v(x,t),\partial v(x,t),\partial^2 v(x,t), \ldots,\partial^{N-1} v(x,t);x,t\right).$$

Лагранжева плотность${\cal L}$является функцией этих переменных. Здесь$N\in\mathbb{N}$есть некоторый конечный порядок. Более того,$\partial$обозначает частную производную по пространственные переменные$x$(но не по временной переменной$t$).

Время$t$играет роль параметра пассивного наблюдателя, т. е. мы можем рассматривать конкретную поверхность Коши , где время$t$имеет какое-то фиксированное значение, и где имеет смысл указывать$q(\cdot,t)$а также$v(\cdot,t)$независимо. (Если рассматривать более одного момента времени, то$q$а также$v$профили не являются независимыми. См. также, например , этот и этот посты Physics.SE.)

Вайнберг использует слово функциональный из-за пространственных измерений. [В частности, если бы Вайнберг рассматривал только точечную механику (соответствующую$n=0$без пространственных измерений), то он назвал бы лагранжиан$L(q(t),v(t);t)$функция мгновенного положения$q(t)$и мгновенная скорость$v(t)$.]

Важно лечить$q(\cdot,t)$(которую Вайнберг называет$\Psi(\cdot,t)$) а также$v(\cdot,t)$(которую Вайнберг называет$\dot{\Psi}(\cdot,t)$) на фиксированное время$t$как две независимые функции, чтобы понять определение сопряженного/канонического импульса$p(\cdot,t)$(которую Вайнберг называет$\Pi(\cdot,t)$). Определение включает функциональную/вариационную производную относительно. к полю скоростей, ср. экв. (7.2.1) в работе. 1,

$$\tag{7.2.1} p(x,t)~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta v(x,t)}.$$

Давайте, наконец, интегрируем со временем$t$. Действие$S$(которую Вайнберг называет$I$) является

$$\tag{7.2.3} S[q]~:=~\int dt~ \left. L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]\right|_{v=\dot{q}}$$

Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид

$$\tag{7.2.2} \left.\frac{d}{dt} \left(\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta v(x,t)}\right|_{v=\dot{q}}\right)~=~\left. \frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta q(x,t)}\right|_{v=\dot{q}}$$

Использованная литература:

1. С. Вайнберг, Квантовая теория поля, том 1, раздел 7.2, стр. 299.

В классической теории поля поля — это просто сечения некоторого расслоения$E$над пространством-временем$M$. Любому такому расслоению можно сопоставить струйные расслоения$J^kE$, их сечения содержат производные полей, они образуют обратную систему, поэтому можно определить связку$J^\infty E$. Тогда лагранжева плотность — это просто карта

$$L \colon J^\infty(E) \to \Omega^n(M).$$

Учитывая раздел$\phi \colon M \to E$, вы можете вычислить действие:

$$S[\phi] = \int_M L(j_\infty \phi),$$ куда $j_\infty(\phi) = (\phi, \partial_i \phi, ...)$является продолжением $\phi$.

Конечно, есть и другие точки зрения, другая состоит в том, что плотность Лагранжа является элементом вариационного бикомплекса.

Вместо того, чтобы называть лагранжиан функционалом, его следует называть оператором.

Как и пример в вопросе, литература по физике наполнена расплывчатой ​​терминологией. Обычно под «функциональным» понимают элемент пространства, двойственного некоторому бесконечномерному векторному пространству. Или какую-нибудь карту$V \approx \Omega_1^{\alpha_1}(M) \times \cdots \times \Omega_n^{\alpha_n}(M) \longrightarrow F$куда$\Omega_j^{\alpha_j}(M)$являются некоторыми сечениями некоторого многообразия, и$F$это поле.