Почему Пескин и Шредер берут функциональные производные от лагранжевой плотности, если она не является функционалом?

Question

Почему Пескин и Шредер берут функциональные производные от лагранжевой плотности, если она не является функционалом?

Физика
теория поля
лагранж-формализм
квантовая теория поля
вариационное исчисление
функциональные производные

серик

У меня есть некоторые сомнения относительно уравнения 11.58 (см. ниже) в книге КТП Пескина и Шредера. Если я правильно понимаю, они расширяют плотность лагранжиана примерно $\phi_{\text{cl}}$ написав $\phi(x) = \phi_{\text{cl}}(x) + \eta(x)$ , после чего делают следующее расширение:

л_{1} [ф] "=" л_{1} [ф_{кл}] + \int г^{4} Икс \frac{дельта л_{1}}{дельта ф (Икс)} η (Икс) + \int г^{4} Икс г^{4} у \frac{1}{2!} \frac{{дельта}^{2} л_{1}}{дельта ф (Икс) дельта ф (у)} η (Икс) η (у) + \dots,

$\mathcal{L}_1[\phi] = \mathcal{L}_1[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\; \frac{\delta\mathcal{L}_1}{\delta\phi(x)} \eta(x) + \int d^4x \; d^4y\; \frac{1}{2!} \frac{\delta^2\mathcal{L}_1}{\delta\phi(x)\delta\phi(y)} \eta(x) \eta(y) + \cdots,$ где все функциональные производные оцениваются при

ϕ_{cl}

$\phi_\text{cl}$ .

Мой вопрос таков: плотность Лагранжа — это просто функция $\phi$ , а не функционал (см., например, этот пост Phys.SE), почему тогда мы берем функциональные производные вместо «обычных» производных? Кроме того, если приведенная выше формула верна, не должен ли быть двойной интеграл в члене, линейном по $\eta(x)$ в уравнении 11.58?

Цитата из стр. 371 книги Пескина и Шредера по QFT:

Ответы (1)

Почему Пескин и Шредер берут функциональные производные от лагранжевой плотности, если она не является функционалом?

Qмеханик · Answer 1

У ОП есть смысл. Если

\begin{matrix} (*) & С_{1} "=" \int г^{4} Икс л_{1} \end{matrix}

$S_1~:=~\int d^4x ~\mathcal{L}_1\tag{*}$ обозначает соответствующий функционал действия, то 3 последних появления

L_{1}

$\mathcal{L}_1$ в уравнении (11.58) должно быть, строго говоря,

S_{1}

$S_1$ нет

L_{1}

$\mathcal{L}_1$ . Имейте в виду, что такое злоупотребление обозначениями, как в ур. (11.58) встречается довольно часто. См. также, например, этот связанный пост Phys.SE.

Спасибо за пояснение! Это уравнение, наконец, теперь имеет для меня смысл. Я немного озадачен тем, что авторы не объяснили читателям это злоупотребление обозначениями (а может, объяснили, а я просто бегло просмотрел?). В любом случае, спасибо!

Почему Пескин и Шредер берут функциональные производные от лагранжевой плотности, если она не является функционалом?

серик

Ответы (1)

Qмеханик

серик

Использовать частные или ковариантные производные при выводе уравнений теории поля?

Определение лагранжиана в (классической) теории поля

Различные определения функциональной производной

Действительно ли лагранжиан квантового поля является «функционалом»?

Почему бюстгальтер и комплект можно менять независимо друг от друга?

Где находятся дельта-функции в уравнении Пескина и Шредера? (11,67)?

Являются ли частные производные лагранжиана в различном действии функциональными производными?

Как правильно вычислить функциональную производную?

Функциональная производная и вариация действия SSS против лагранжевой LLL против лагранжевой плотности LL\mathcal{L} против лагранжевой 4-формы LL\mathbf{L}

Вывести уравнения Швингера-Дайсона в программе Средненицкого