Гамильтониан квантового гармонического осциллятора с ψ(x)=δ(x)ψ(x)=δ(x)\psi(x)=\delta(x): сравнение с классической механикой

Наиболее классическими состояниями гармонического осциллятора являются когерентные состояния гармонического осциллятора , а не$\delta(x)$. Причина в том, что когерентное состояние уравновешивает неопределенность координаты и импульса:

В состоянии с$\phi(x)=\delta(x)$неопределенность импульса$\Delta p=\infty$, не стремится к нулю.

ОБНОВЛЯТЬ:

Неверно полагать, что частица с большой энергией всегда может быть описана классической механикой. Рассмотрим, например, два состояния$|\psi_1\rangle$и$|\psi_2\rangle$, в котором частица имеет большую энергию. Любая их суперпозиция допустима в квантовой механике, но не имеет смысла в классической механике.

Ваши попытки взять классический предел на самом деле не имеют смысла. По природе классической механики, вне статистической механики, не существует такого понятия, как «распределение позиций» классической системы. Классическая система всегда имеет определенное положение и импульс, поэтому ее «распределение» положения и импульса будет$\delta(x)$и$\delta(p)$, соответственно. Это верно полностью независимо от конкретного состояния классической системы или любого другого свойства системы, поэтому нецелесообразно думать о том, какая квантовая система соответствует этому.

Ваше определение классической механики как предела высокой энергии квантовой механики ошибочно. Я могу привести ряд примеров. Рассмотрим состояние гармонического осциллятора высокой энергии (фоковское число).

The $1000^{th}$энергия собственного состояния гармонического осциллятора. Амплитуда движения четко определена, однако фаза совершенно не определена. Осциллятор может появиться в любой позиции и с любым импульсом, соответствующим$X^2 + P^2 = 1000$(в соответствующих единицах).

Также учитывайте состояние кошки

Где это суперпозиция двух высокоэнергетических когерентных состояний. В этом случае система находится в макроскопической суперпозиции двух состояний, что весьма неклассически.

Это два примера квантовых состояний с высокой энергией, но не классических.

Я думаю, вероятно, верно, что квантовые состояния с низкой энергией (состояния, близкие к основному состоянию) всегда будут неклассическими. Таким образом, высокая энергия может быть необходимым условием для того, чтобы состояние выглядело классическим, но уж точно не достаточным условием.

Состояние, которое вы рассматриваете,$\langle x|\psi \rangle = \psi(x) = \delta(x)$. Неверно говорить, что это состояние обладает высокой энергией. Это не собственное состояние энергии и, как видно из преобразования Фурье, это суперпозиция состояний со всеми возможными энергиями. То есть он имеет низкий энергетический вклад и высокий энергетический вклад. Он имеет энергию на всех уровнях! Это часть того, почему это очень неклассическое состояние. Я просто добавлю, что причина, по которой это состояние нефизично, заключается в том, что для его подготовки требуется бесконечная энергия, а она недоступна. Тем не менее, вы можете подготовить состояние, которое имеет равномерное заполнение всех энергетических уровней вплоть до энергетического$E_0$. В этом случае волновая функция была бы узкой функцией, приближающейся к дельте Дирака. Ширина будет пропорциональна$\frac{1}{E_0}$, поэтому чем выше энергия, которую вы можете получить, тем ближе вы можете приблизиться к$\delta$функция.

Теперь вопрос о классической дельта-функции Дирака. Да, классическая система в ЛЮБОМ детерминированном состоянии (без учета тепловых/стохастических состояний) будет отображаться как дельта Дирака в фазовом пространстве. Он будет иметь как четко определенную позицию, так и импульс. Видно, что энергия может быть рассчитана как$E = X^2 + P^2$(опять же с некоторыми масштабами) и, что важно, энергия четко определена и конечна.

Большая разница в том, что с точки зрения квантовой механики невозможно иметь дельта-функцию как для положения, так и для импульса. Это просто недопустимое состояние в гильбертовом пространстве. Один из способов увидеть это состоит в том, что положение и импульс являются парами преобразований Фурье, а дельта-функция Дирака не является собственным преобразованием Фурье. Это основное утверждение волновой версии принципа неопределенности.

Другими словами, классический осциллятор в основном состоянии имеет$X=0$и$P=0$. Он не движется. У него нет энергии. Квантовый осциллятор с$\psi(x) = \delta(x)$имеет$X=0$но у него есть ВСЕ возможные импульсы. Это означает, что он одновременно не движется (аналогично классическому осциллятору) и движется бесконечно быстро во всех направлениях. Это сильно отличается от классического осциллятора.

Я много говорю здесь и чувствую, что повторяюсь, поэтому, возможно, будет лучше, если вы зададите уточняющие вопросы.

Наборы ответов Эмилио Писанти$\hbar = 1$, что таит в себе некоторые тонкости относительно классического предела. С явным$\hbar$, преобразование Фурье содержит$e^{i px/\hbar}$, что затрудняет интерпретацию смысла классического предела$\hbar \to 0$. Легче увидеть, что происходит, если вы рассмотрите гауссовский волновой пакет с разбросом в позиционном пространстве.$\Delta x$вместо. Вы обнаружите, что распространение в импульсном пространстве$\Delta p \propto \hbar / \Delta x$. Итак, если мы возьмем$\Delta x \to 0$ удерживая$\hbar$исправлено , чтобы получить$\delta$-функция положения волновой функции, как это делает Эмилио, то мы находим, что кинетическая энергия имеет вид$(\Delta p)^2 \propto \hbar^2 / (\Delta x)^2$и расходится. Физически, конечно,$\hbar$ исправлено , поэтому обычно это логично. Но в классическом пределе полезнее подумать о том, чтобы взять$\hbar \to 0$ прежде чем мы возьмем$\Delta x \to 0$. В этом случае мы получаем «детерминированную» классическую частицу с обоими$\Delta x = \Delta p = 0$, который может иметь нулевую энергию.

Все это несколько эвристично, потому что на самом деле мы должны принимать безразмерные отношения к нулю. Более строгий способ сделать это — рассмотреть характерные масштабы длины и импульса, присущие конкретному потенциалу осциллятора, и подумать о разбросах волновых пакетов относительно этих масштабов. Вы обнаружите, что классический предел действительно соответствует режимам, в которых разбросы как в пространстве положений, так и в пространстве импульсов намного меньше, чем эти характерные масштабы, так что частица почти идеально локализована как в пространстве положений, так и в пространстве импульсов . В этом случае мы находим, что «классическая энергия» оказывается много больше нулевой энергии.$\propto \hbar \omega$, так что последним можно пренебречь. Это строгий способ обосновать, следует ли принимать$\Delta x \to 0$или$\hbar \to 0$первый; правильный выбор отражает относительный разброс положения вашей волновой функции относительно соответствующей шкалы длины, заданной гамильтонианом.