Гильбертово пространство гармонического осциллятора: счетное или несчетное?

Question

Гильбертово пространство гармонического осциллятора: счетное или несчетное?

Лагербер

Хм, это только что пришло мне в голову, когда я отвечал на другой вопрос:

Если я запишу гамильтониан для гармонического осциллятора как

ЧАС знак равно \frac{п^{2}}{2 м} + \frac{1}{2} м ю^{2} {Икс}^{2}

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ тогда не будет ли один набор возможных базисных состояний набором

δ

$\delta$ -функции

ψ_{x} = δ (x)

$\psi_x = \delta(x)$ , а это означает, что размер моего гильбертова пространства равен

R

$\mathbb{R}$ .

С другой стороны, все мы знаем, что можем диагонализовать $H$ переходя к состояниям числа заполнения, поэтому гильбертово пространство будет $|n\rangle, n \in \mathbb{N}_0$ , так что теперь размер моего гильбертова пространства равен $\mathbb{N}$ вместо.

Ясно, что они оба не могут быть правы, так где же изъян в моей логике?

тпаркер

Разве это не тот же вопрос, что и вопрос о том, имеет ли периодическая функция счетное или несчетное число степеней свободы, поскольку ее можно определить, указав

f (x)

$f(x)$ для каждого из несчетного множества

x

$x$ , или задав счетное количество коэффициентов Фурье?

Кай Ли

@tparker Итак, для соответствующей физической системы - частицы в ящике с периодическими граничными условиями, правильным основанием гильбертова пространства должны быть собственные состояния дискретного импульса, верно?

тпаркер

@KaiLi Что ж, какая основа гильбертова пространства является «правильной», зависит от того, что вы пытаетесь сделать. Но да, для такой цели, как определение того, является ли это гильбертово пространство сепарабельным , собственный базис дискретного импульса действительно «лучше» в том смысле, что он дает понять, что гильбертово пространство действительно сепарабельно, потому что оно имеет счетную ортонормированную базу.

Кай Ли

@tparker Мое понимание таково: точно так же, как в системе гармонического осциллятора (или системы свободных частиц), состояния положения не принадлежат истинному гильбертовому пространству и, следовательно, не могут быть основой. Более того, как указано в ответе Джошфизики, состояния непрерывного положения и дискретная база не имеют равной мощности, поэтому они не могут быть основой истинного гильбертова пространства.

тпаркер

@KaiLi Да, это правильно. Я хотел сказать, что дискретные собственные импульсные состояния образуют истинную основу гильбертова пространства ящика с периодическими граничными условиями. Это не единственная основа. Но собственные состояния положения не образуют истинного базиса, потому что, как вы говорите, они на самом деле не лежат в истинном гильбертовом пространстве.

Ответы (4)

Гильбертово пространство гармонического осциллятора: счетное или несчетное?

Разве это не тот же вопрос, что и вопрос о том, имеет ли периодическая функция счетное или несчетное число степеней свободы, поскольку ее можно определить, указав $f(x)$ для каждого из несчетного множества $x$ , или задав счетное количество коэффициентов Фурье?
@tparker Итак, для соответствующей физической системы - частицы в ящике с периодическими граничными условиями, правильным основанием гильбертова пространства должны быть собственные состояния дискретного импульса, верно?
@KaiLi Что ж, какая основа гильбертова пространства является «правильной», зависит от того, что вы пытаетесь сделать. Но да, для такой цели, как определение того, является ли это гильбертово пространство сепарабельным , собственный базис дискретного импульса действительно «лучше» в том смысле, что он дает понять, что гильбертово пространство действительно сепарабельно, потому что оно имеет счетную ортонормированную базу.
@tparker Мое понимание таково: точно так же, как в системе гармонического осциллятора (или системы свободных частиц), состояния положения не принадлежат истинному гильбертовому пространству и, следовательно, не могут быть основой. Более того, как указано в ответе Джошфизики, состояния непрерывного положения и дискретная база не имеют равной мощности, поэтому они не могут быть основой истинного гильбертова пространства.
@KaiLi Да, это правильно. Я хотел сказать, что дискретные собственные импульсные состояния образуют истинную основу гильбертова пространства ящика с периодическими граничными условиями. Это не единственная основа. Но собственные состояния положения не образуют истинного базиса, потому что, как вы говорите, они на самом деле не лежат в истинном гильбертовом пространстве.

Шива · Answer 1

Этот вопрос был впервые задан мне моим другом; за тонкости, связанные с этим, я люблю этот вопрос. :-)

«Недостаток» в том, что вы не внимательно считаете размер. Как указывали другие ответы, $\delta$ -функции недействительны $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ функции, поэтому нам нужно определить кошерную функцию, которая дает $\delta$ -функция как предельный случай. По сути, это делается путем рассмотрения УФ-регулятора для ваших волновых функций в космосе. Давайте решим более простую задачу «частица в ящике» на решетке. Ответ для гармонического осциллятора концептуально будет таким же. Также отметим, что решение задачи на решетке размера $a$ сродни рассмотрению прямоугольных функций ширины $a$ и единица площади, как регулируемые версии $\delta$ -функции.

УФ-отсечка (наименьшее разрешение положения) становится максимально возможным импульсом для волновой функции частицы, а ИК-отсечка (примерно максимальная ширина волновой функции, которая будет соответствовать размеру ящика) дает минимальный квант импульса и, следовательно, разницу между уровнями. . Теперь вы можете видеть, что количество состояний (конечное) одинаково в базисе позиции и базисе импульса. Тонкость заключается в том, когда вы берете предел малого шага решетки. Затем максимальный импульс стремится к «бесконечности», а разрешение положения стремится к нулю, но базисные состояния положения все еще поддаются счету!

В случае гармонического осциллятора разброс основного состояния (максимальный разброс) должен соответствовать кванту импульса, т.е. размеру решетки в импульсном пространстве.

Физическая интуиция

Когда мы рассматриваем набор возможных волновых функций, нам нужно, чтобы они вели себя разумно , т. е. имели только счетное число разрывов. В действительности такие функции имеют только счетное число степеней свободы (в отличие от функций, которые могут вести себя очень плохо). IIRC, это одно из необходимых условий для преобразования Фурье функции.

ДОБАВЛЕНИЕ: см. ответ @tparker для хорошего объяснения с немного более строгим подходом, объясняющим, почему волновые функции имеют только счетные степени свободы.

Итак, здесь может быть интересный факт: Положение гласит $\left | x \right \rangle$ не может быть выражена как суперпозиция собственных состояний энергии $\left | n \right \rangle$ , поскольку $\left | x \right \rangle$ не принадлежит истинному гильбертовому пространству. Но $\left | n \right \rangle$ действительно может быть выражена как суперпозиция $\left | x \right \rangle$ .
@KaiLi Я не думаю, что это правильно; см. мой комментарий к ответу Джошфизики ниже.

Qмеханик · Answer 2

Гильбертово пространство ${\cal H}$ одномерного гармонического осциллятора в позиционном представлении есть множество $L^2(\mathbb{R})={\cal L}^2(\mathbb{R})/{\cal N}$ (классов эквивалентности) функций, суммируемых с квадратом $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ на реальной линии. Отношение эквивалентности представляет собой измеримые по модулю функции , обращающиеся в нуль почти всюду .
Дельта- распределение Дирака $\delta(x-x_{0})$ не является функцией. Это дистрибутив . В частности, оно не интегрируемо с квадратом, ср. этот пост Phys.SE.
Можно доказать , что все бесконечномерные сепарабельные комплексные гильбертовы пространства изоморфны множеству
$ℓ^{2} (Н) знак равно {({Икс}_{н})_{н е Н} ∣ \sum_{н е Н} | {Икс}_{н} |^{2} < \infty}$ ${\ell}^{2}(\mathbb{N})~:=~\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid\sum_{n\in\mathbb{N}} |x_n|^2 <\infty\right\}$ комплексных последовательностей, интегрируемых с квадратом.

Я собирался задать тот же вопрос, что и ОП, пока не нашел это и ваш ответ. У меня все же есть один вопрос: что же имеют в виду физики, когда говорят о $|x\rangle$ основа? Как бы то ни было, если эти кет-векторы различимы, то их должно быть несчетное множество?
Да, $|x\rangle$ обозначается действительными числами $x\in\mathbb{R}$ , что несчетно. См. также, например , оснащенные гильбертовы пространства и этот пост Phys.SE.
Гильбертово пространство $L^2(\mathbb{R})$ не является «пространством интегрируемых с квадратом функций $\psi: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ на настоящей линии" $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ , которое на самом деле вовсе не является гильбертовым пространством. это частное $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ ядром $L^2$ норма, как я объясняю в своем ответе. Это не просто математическая формальность: это частное физически необходимо и обеспечивает «вычитание на мощность континуума», которое уменьшает размерность векторного пространства с неисчислимого до счетного.
$\uparrow$ Я согласен. Я обновил ответ.

тпаркер · Answer 3

Все предыдущие ответы верны, но я решил дать более концептуальное объяснение того, почему основа дельта-функции является «неправильной» основой для расширения при подсчете степеней свободы. Поскольку в КТП ситуация намного сложнее, для простоты я буду рассматривать волновые функции первого квантования только для системы с фиксированным конечным числом частиц, так что конфигурационное пространство равно $\mathbb{R}^n$ для некоторого конечного $n$ . (Если вы не знаете, что такое «конфигурационное пространство», все, что действительно имеет значение для этого вопроса, это то, что для системы из одной частицы это то же самое, что и реальное пространство.)

Физики часто говорят, что для этих систем «гильбертово пространство $L^2(\mathbb{R}^n)$ — пространство функций, интегрируемых с квадратом на $\mathbb{R}^n$ , со внутренним произведением $\langle f | g \rangle := \int_{\mathbb{R}^n} d^nx\ f^*({\bf x})\, g({\bf x}).$ " Но это определение неверно, потому что на самом деле это не действительный внутренний продукт в этом пространстве! Проблема в том, что оно нарушает требование положительной определенности для внутреннего продукта, который $||\psi|| = 0 \implies | \psi \rangle = 0$ : если функция $f$ поддерживается на непустом множестве нулевой меры Лебега, то «норма» $\int_{\mathbb{R}^n} d^nx\ |f({\bf x})|^2 = 0$ . Поскольку эта «норма» равна нулю для некоторых ненулевых векторов, точнее, это всего лишь полунорма в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. $\mathbb{R}^n$ . Это функциональное пространство обозначается $\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$ (обратите внимание на другой сценарий для " $\mathcal{L}$ ") и поэтому является лишь полунормированным векторным пространством .

Конвертировать $\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$ в истинное гильбертово пространство, нам нужно заменить его векторным пространством функций, носитель которых имеет нулевую меру Лебега. Другими словами, мы определяем отношение эквивалентности $f \sim g$ между функциями $f({\bf x})$ а также $g({\bf x})$ которые согласуются почти везде, а затем определяют гильбертово пространство $L^2(\mathbb{R}^n)$ быть пространством классов эквивалентности при этом отношении эквивалентности. Итак, две интегрируемые с квадратом функции $\psi({\bf x})$ а также $\phi({\bf x})$ которые почти всюду равны, но различаются на множестве нулевой меры Лебега, на самом деле соответствуют одному и тому же состоянию $|\psi\rangle$ в гильбертовом пространстве. Это устраняет проблему, потому что теперь все те проблемные функции, носитель которых имеет нулевую меру Лебега, соответствуют нулевому вектору гильбертова пространства, поэтому для них нормально иметь нулевую норму.

Это больше, чем просто технический трюк, выполняемый только для того, чтобы удовлетворить математическому определению внутреннего продукта — на самом деле это правильно физически. Помните, что значение $|\psi({\bf x})|^2$ в определенной точке ${\bf x}$ на самом деле не вероятность - это плотность вероятности , которая не является непосредственно физической величиной. Вы не можете напрямую измерить плотность вероятности в одной точке; можно только измерить вероятность $P(V) = \int_V d^nx\, |\psi({\bf x})|^2$ для частицы, которая может быть найдена в (потенциально очень маленькой) области $V$ . Но если две волновые функции $\psi, \phi \in \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$ отличаются только на множестве нулевой меры Лебега, то $P(V) = \int_V d^nx\, |\psi({\bf x})|^2 = \int_V d^nx\, |\phi({\bf x})|^2$ будет одинаковым для любого региона $V$ . Следовательно, все физически измеряемые величины будут одинаковыми для этих двух волновых функций, и поэтому они соответствуют одному и тому же физическому состоянию. $| \psi \rangle \in L^2(\mathbb{R}^n)$ .

Суть всего этого в том, что любая волновая функция $\psi({\bf x})$ несет много дополнительной, нефизической информации (кроме общего фазового фактора, к которому вы, вероятно, привыкли). Изменение его значения в любом наборе точек нулевой меры Лебега фактически не меняет состояния. (Неисчислимый) базис дельта-функции слишком «тонок» и выделяет все эти не относящиеся к делу нефизические степени свободы. С другой стороны, (счетный) базис собственного состояния осциллятора гораздо менее чувствителен к деталям волновой функции: изменение $\psi({\bf x})$ на любом множестве меры Лебега ноль не меняет ни один из коэффициентов разложения $\langle \psi_n | \psi \rangle$ . Таким образом, эти коэффициенты фиксируют только информацию о физических степенях свободы, которых существует лишь счетное множество.

Кстати, гильбертово пространство $L^2 \left( \mathbb{R}^d \right)$ для свободной частицы то же самое, что и для гармонического осциллятора, поэтому все в этом ответе переносится непосредственно на сопутствующий вопрос о гильбертовом пространстве свободных частиц.

Таким образом, волновая функция и физическое состояние во многом соответствуют одному (помимо общего фазового фактора). Но если мы ограничим волновые функции непрерывными , то непрерывная волновая функция и физическое состояние станут взаимно-однозначными? И есть только счетные непрерывные волновые функции, которые составляют основу?
Изменение значения в любом наборе точек нулевой меры Лебега может изменить непрерывную волновую функцию на прерывистую, верно?
@KaiLi Правильно, карта волновых функций в физические состояния является множественной, даже за пределами глобального фазового фактора. На самом деле, отображение несчетно бесконечно много -к-одному, потому что существует несчетно бесконечно много различных функций с нулевой мерой Лебега.
Поскольку многие комментарии ниже ответа Джошфизики, я перехожу сюда. Ниже ответа joshphysics я понимаю ваш комментарий «... потому что вам разрешено брать конечную линейную комбинацию базисных векторов только для того, чтобы охватить пространство ...» как: каждый вектор в гильбертовом пространстве представляет собой конечную линейную комбинацию базисные векторы (вы это имеете в виду? ). Но когерентные состояния (которые принадлежат $L^2(R)$ , Правильно? ) гармонического осциллятора являются бесконечной линейной комбинацией базисных векторов $\left | n \right \rangle$ .
@KaiLi Нет, я не это имею в виду под своим комментарием. Дело в том, что, строго говоря, линейная комбинация конечна по определению . Каждый раз, когда вы говорите о «бесконечной линейной комбинации», вы говорите расплывчато. Поэтому определение «базиса» становится тонким для бесконечномерных векторных пространств. Если вы возьмете обычное определение базиса — «набор (линейно-независимых) векторов, охватывающих пространство линейных комбинаций», которое, как вы помните, должно быть конечным — и примените его к бесконечномерному векторному пространству, то вы получите понятие гамелевского базиса. Но на самом деле это не...
... очень полезно для бесконечномерных пространств. В частности, они никогда не могут быть ортонормированными. Поэтому на практике мы предпочитаем использовать «ортонормированный базис гильбертова пространства», который на самом деле не является базисом по стандартному определению. Базис ON гильбертова пространства - это набор векторов ON, оболочка которых (при конечных линейных комбинациях) плотна в гильбертовом пространстве, но не обязательно равна всему гильбертовому пространству. Поскольку он плотный, вы можете все ближе и ближе приближаться к любому конкретному вектору в гильбертовом пространстве, выбирая последовательность «лучших» конечных линейных комбинаций.
... Это то, что мы имеем в виду, когда в общих чертах говорим о «бесконечной линейной комбинации»: последовательности (Коши) конечных линейных комбинаций, которая все ближе и ближе приближается к определенному вектору в гильбертовом пространстве. Для любого фиксированного базиса ON гильбертова пространства подавляющее большинство векторов в гильбертовом пространстве не может быть выражено в виде конечной линейной комбинации базисных векторов.
Я вижу, спасибо за ваши подробные объяснения, я многому научился.
Привет, у меня остались вопросы о пространстве квадратично-интегрируемых непрерывных функций, обозначим это пространство как $L^2_c$ . По определению, $L^2_c$ должно быть гильбертовым пространством, потому что конечная линейная комбинация векторов по-прежнему является вектором внутри $L^2_c$ , а также $L^2_c$ имеет действительный внутренний продукт, как определено в вашем ответе выше. Я прав? Если так, то $L^2_c$ должно быть подпространством $L^2(R)$ . Теперь мой вопрос: каковы базисные векторы $L^2_c$ ?
Мое понимание: $L^2_c$ а также $L^2(R)$ имеют одни и те же базисные векторы $\left | n \right \rangle$ , и разрывные функции, которые представляют собой бесконечные линейные комбинации $\left | n \right \rangle$ , лежать снаружи $L^2_c$ но внутри $L^2(R)$ .
@КайЛи $L^2_c$ не является гильбертовым пространством. Тот факт, что оно замкнуто относительно конечных линейных комбинаций, делает его векторным пространством, а внутренний продукт делает его пространством внутреннего продукта. Однако это внутреннее пространство продукта не является полным, потому что (грубо говоря) $L^2_c$ не замкнут относительно бесконечных линейных комбинаций. (точнее: существует последовательность непрерывных функций в $L^2_c$ которая является Коши по отношению к функции расстояния, индуцированной скалярным произведением, но которая поточечно сходится к разрывной функции вне $L^2_c$ .) Следовательно $L^2_c$ это вектор ...
подпространство $L^2$ , но не является гильбертовым подпространством $L^2$ . С $L^2_c$ бесконечномерно, но не является гильбертовым пространством, вы не можете говорить об «ортонормированном базисе» в том же смысле, что и гильбертово пространство. Нет осмысленной счетной основы для $L^2_c$ .
Я понимаю. Ты прав, $L^2_c$ неполно и, следовательно, не является гильбертовым пространством.

джошфизика · Answer 4

джошфизика

Нужно быть осторожным с тем, что подразумевается под «размером» векторного пространства.

Теорема функционального анализа говорит нам, что любые две базы Гильберта для гильбертова пространства должны иметь одинаковую мощность. Это позволяет нам определить гильбертову размерность гильбертова пространства как мощность любого гильбертова базиса.

Гильбертово пространство для одномерного гармонического осциллятора есть $L^2(\mathbb R)$ . Мы знаем, что существует по крайней мере один счетный ортонормированный базис для $L^2(\mathbb R)$ . Это основа, которую мы обычно называем $\{|0\rangle, |1\rangle, \dots\}$ при обсуждении физики генератора. Следовательно, гильбертова размерность $L^2(\mathbb R)$ является $\aleph_0$ .

Дельты Дирака не являются элементами $L^2(\mathbb R)$ , так что противоречия нет.

ПК-спаниель

Если дельты Дирака не являются элементами L^2, то как мы можем разложить собственные функции армонического осциллятора по этому базису?

DanielC

@PCSpaniel Перейдя в двойное пространство (это возможно с помощью en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem )

Янник Питт

@DanielC Двойственное пространство любого гильбертова пространства - это само гильбертово пространство (конечно, с точностью до изоморфизма). Так что если

δ

$\delta$ не содержится в

L^{2}

$L^2$ , он также не содержится в его двойнике.

DanielC

Пространство умеренных распределений двойственно пространству всех собственных функций Гамильтона.

Кай Ли

@PC Spaniel Насколько я понимаю, мы можем рассматривать дельты Дирака как основу некоторого большего пространства, которое содержит

L^{2} (R)

$L^2(R)$ как подпространство.

тпаркер

@KaiLi Я не думаю, что это совсем правильно. Это правда, что физики рассматривают формальные «волновые функции», лежащие в пространствах больше, чем

L^{2} (R^{N})

$L^2(\mathbb{R}^N)$ , такое пространство умеренных распределений , которое включает в себя такие вещи, как дельта-функции. Но дельты Дирака не образуют «базис» (или, по крайней мере, базис Гамеля ) этого пространства, потому что вам разрешено брать только конечную линейную комбинацию базисных векторов, чтобы охватить пространство, и для...

тпаркер

... бесконечномерные векторные пространства вам обычно нужно брать "бесконечные линейные комбинации". Тот факт, что вам нужны «бесконечные линейные комбинации», является источником всех сложностей — это сложное понятие для формализации.

джошфизика

@KaiLi Я бы порекомендовал прочитать о «сфальсифицированном гильбертовом пространстве».

Кай Ли

@joshphysics Хорошо, спасибо.

Кай Ли

@tparker Итак, это уравнение

| x ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} ⟨ n | x ⟩ | n ⟩

$\left | x \right \rangle=\sum _{n=0}^\infty \left \langle n | x \right \rangle \left | n \right \rangle$ неправильно, верно? куда

| n ⟩

$\left | n \right \rangle$ являются ортонормированными собственными энергетическими состояниями гармонического осциллятора.

тпаркер

@KaiLi Нет, это уравнение действительно правильное. Имеем соотношение полноты для функций Эрмита

δ (y - x) = ⟨ y | x ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} ⟨ y | n ⟩ ⟨ n | x ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} ψ_{n} (y) ψ_{n}^{*} (x)

$\delta(y-x) = \langle y | x \rangle = \sum_{n=0}^\infty \langle y | n \rangle \langle n | x \rangle = \sum_{n=0}^\infty \psi_n(y) \psi_n^*(x)$ . (Комплексное сопряжение не имеет значения, потому что

ψ_{n}

$\psi_n$ все действительны.) Поскольку это уравнение выполняется для всех базисных бюстгальтеров

⟨ y |

$\langle y |$ , мы можем удалить

⟨ y |

$\langle y|$ получить от личности выше и получить свою формулу.

Кай Ли

@tparker Я немного запутался. Если приведенное выше уравнение верно (это означает, что

| x ⟩

$\left | x \right \rangle$ можно выразить через

| n ⟩

$\left |n \right \rangle$ ), то мы можем сделать вывод, что

| x ⟩

$\left | x \right \rangle$ принадлежат истинному гильбертовому пространству. Но, как мы знаем,

| x ⟩

$\left | x \right \rangle$ не принадлежат истинному гильбертовому пространству.

джошфизика

@KaiLi Тот факт, что любой вектор в гильбертовом пространстве может быть расширен в ортонормированном базисе, не означает, что те же базисные векторы нельзя использовать для представления вещей, не входящих в гильбертово пространство. Однако это сложно из-за того, что это означает, когда вы пишете знак равенства - вы должны быть осторожны с тем, какое понятие сходимости вы используете. Когда мы говорим, что распределение, подобное

| x ⟩

$|x\rangle$ «равняется» бесконечной линейной комбинации базисных векторов, это означает нечто иное, чем когда мы говорим, что это вектор гильбертова пространства.

Кай Ли

@joshphysics Хорошо, мне становится яснее, спасибо. Итак, теперь я понимаю так: если бесконечная линейная комбинация базисных векторов сходится (в обычном смысле), то эта бесконечная линейная комбинация должна сходиться (или равняться) (обычному) вектору внутри гильбертова пространства. Верно?

Кай Ли

Кроме того, давайте проигнорируем строгую математику, жизнь может быть проще, если мы рассмотрим бесконечномерное «физическое гильбертово пространство», которое допускает два базиса с разной мощностью, например, непрерывный (несчетный) базис по сравнению с дискретным (счетным) базисом, и состояния как

| x ⟩

$\left | x \right \rangle$ принадлежат этому «физическому гильбертовому пространству». IIRC, название «физическое гильбертово пространство» действительно появилось в сообществе физиков, но я не знаю, означает ли оно то же, что и выше.

тпаркер

@KaiLi Ах, я понимаю, что допустил ошибку в своих предыдущих комментариях под своим ответом (который я удалил). «Полное» гильбертово пространство означает только то, что любая последовательность векторов Коши сходится к вектору в гильбертовом пространстве. Но вы можете добиться, чтобы последовательности, не принадлежащие Коши, сходились к векторам (в данном случае к функциям), лежащим за пределами гильбертова пространства. (Хотя, как говорит Джошфизик, вам нужно быть осторожным с тем, что вы подразумеваете под «сходиться».) Так что нет, бесконечная линейная комбинация базисных векторов может сходиться (поточечно) к вектору, который лежит за пределами гильбертова пространства. Разрешение...

тпаркер

... дельта-функции Дирака в собственном основании гармонического осциллятора является одним из таких примеров. Причина, по которой ему разрешено сходиться к вектору за пределами гильбертова пространства, заключается в том, что (я думаю) последовательность частичных сумм не является Коши.

тпаркер

@KaiLi Если мы позволим

| x_{0}, N ⟩

$|x_0, N\rangle$ быть зарождающейся дельта-функцией

\sum_{n = 0}^{N} ψ_{n} (x_{0}) | n ⟩

$\sum_{n=0}^N \psi_n(x_0) |n\rangle$ с центром рядом (но не точно в) точке

x_{0}

$x_0$ , то прямое вычисление дает, что метрическое расстояние

d (| x_{0}, N ⟩, | x_{0}, N^{'} ⟩) = \sum_{n = N + 1}^{N^{'}} | ψ_{n} (x_{0}) |^{2}

$d(|x_0, N \rangle, |x_0, N'\rangle) = \sum_{n=N+1}^{N'} |\psi_n(x_0)|^2$ . Я считаю, что этот ряд расходится как

N^{'} \to \infty

$N' \to \infty$ с

N

$N$ удерживается фиксированным при любом значении, поэтому последовательность частичных сумм не является Коши, и поэтому не требуется, чтобы полный ряд сходился к вектору в гильбертовом пространстве.

тпаркер

@KaiLi Только что проверил Mathematica, и действительно, по крайней мере, для

x_{0} = 0

$x_0 = 0$ сериал

\sum_{n} | ψ_{n} (x_{0}) |^{2}

$\sum_n |\psi_n(x_0)|^2$ расходится, поэтому последовательность частичных сумм не является Коши, и бесконечная линейная комбинация не должна сходиться к вектору в гильбертовом пространстве.

Кай Ли

@tparker Очень интересно, спасибо. И теперь меня устраивает тот факт, что «бесконечная линейная комбинация базисных векторов может сходиться к вектору вне гильбертова пространства». Мое понимание состоит в том, чтобы провести аналогию: например, пространство рациональных чисел замкнуто относительно конечных дополнений, но бесконечное добавление рациональных чисел может сходиться к иррациональному числу вне пространства рациональных чисел, например,

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

$e=\sum _{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ . Может быть, основная философия больше отличается , ха-ха.

племянник

@KaiLi хорошая аналогия, выручает меня.

Гильбертово пространство гармонического осциллятора: счетное или несчетное?

Лагербер

тпаркер

Кай Ли

тпаркер

Кай Ли

тпаркер

Ответы (4)

Шива

Физическая интуиция

Кай Ли

тпаркер

Qмеханик

Алекс Зефферт

Qмеханик

тпаркер

Qмеханик

тпаркер

Кай Ли

Кай Ли

тпаркер

Кай Ли

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Кай Ли

Кай Ли

Кай Ли

тпаркер

тпаркер

Кай Ли

джошфизика

ПК-спаниель

DanielC

Янник Питт

DanielC

Кай Ли

тпаркер

тпаркер

джошфизика

Кай Ли

Кай Ли

тпаркер

Кай Ли

джошфизика

Кай Ли

Кай Ли

тпаркер

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Кай Ли

племянник