Как сделать строгой идею непрерывной комплектации?

В квантовой механике при использовании формализма Дирака одной из его особенностей является разложение векторов состояния в непрерывный базис собственных векторов неограниченных самосопряженных операторов. Позволять ЧАС быть пространством состояний квантовой системы и А некоторый неограниченный самосопряженный оператор.

Затем обычно делается следующее: предполагается, что А имеет непрерывный набор собственных векторов { | а ⟩ : а е р } индексируется его собственными значениями а е р и предполагает, что любой вектор состояния можно записать как «линейную комбинацию» этих собственных векторов в смысле следующего интеграла:

| ψ ⟩ "=" ∫ − ∞ ∞ ⟨ а | ψ ⟩ | а ⟩   г а .

Другой особенностью является «отношение полноты», которое можно записать в виде следующего интеграла

∫ − ∞ ∞ | а ⟩ ⟨ а |   г а "=" я ,

существование я тождественный оператор. Наконец, существует также отношение ортогональности:

⟨ а | а ′ ⟩ "=" дельта ( а − а ′ ) .

Эти три особенности формализма Дирака, хотя и очень полезные, не являются строгими. Есть некоторые моменты, которые я заметил:

  1. Я не знаю о справедливости спектральной теоремы для неограниченных операторов с непрерывным спектром. В таком случае я не знаю, можно ли сказать, что собственные векторы образуют основу. По правде говоря, даже неясно, что понимается под базисом в данном контексте.

  2. В уравнении разложения имеем интеграл от функции ф : р → ЧАС данный ф ( а ) "=" ⟨ а | ψ ⟩ | а ⟩ и мне сначала непонятно, как можно определить интеграл такой функции.

  3. В отношении полноты мы имеем еще один странный интеграл. Теперь это функция г : р → л ( ЧАС , ЧАС ) существование л ( ЧАС , ЧАС ) пространство операторов на ЧАС . Эта функция г определяется г ( а ) "=" | а ⟩ ⟨ а | и непонятно, как снова определяется интеграл от такой функции.

  4. Отношение ортогональности кажется действительно странным. Это не обычная ортогональность, а дельта Диракта, которая является распределением. В таком случае, хотя ⟨ а | а ′ ⟩ должно быть комплексным числом, оно устанавливается равным распределению, являющемуся функционалом над пространством тестовых функций.

Я слышал, что формализм Rigged Hilbert Space, также известный как тройка Гельфанда, решает все эти проблемы. Но я пока не понял как. На самом деле, что я знаю об этой конструкции, так это то, что мы выбираем плотное подпространство Ом гильбертова пространства ЧАС где все соответствующие операторы могут быть определены и инвариантны. Затем мы рассмотрим пространство антилинейных функционалов и линейных функционалов. Это придает смысл пространству кетов и бюстгальтеров, но я не знаю, как оно имеет смысл во всех этих конструкциях, о которых я говорил выше.

Как в таком случае сделать эту часть формализма Дирака строгой? Как решить эти четыре задачи? Как можно понять эти интегралы и связанные с ними отношения? И, наконец, как здесь можно применить тройку Гельфанда, чтобы все исправить?

Комментарий v1: спектральную теорему можно написать для любого самосопряженного оператора (фактически для любого нормального оператора).
Взгляните на главу 13 (Гильбертовы пространства) книги Секереса по математической физике. Большинство ответов, которые вы хотите, есть и в строгой форме.
После вашего комментария я просмотрел эту книгу и главу и нахожу ее довольно классической, и, похоже, в ней ничего не говорится о рассматриваемом виде «обобщенной основы», т. Е. Не отвечает на 2 и 4. и не совсем 1 Я просто хочу указать на интеграл Гельфанда-Петтиса и интеграл Бохнера, которые можно найти при поиске "векторнозначных интегралов". Хотя я очень мало знаю об этом, я просто хочу сказать, что интеграл определяется как некоторый предел и что в бесконечномерных пространствах нужно заботиться о возможном различном значении пределов, отсюда и разные понятия...
интегралы. Теперь о 4. Я понимаю, что lhs является «функцией» индексов «а» и «а». «Обобщенный базис» таков, что это не функция, а распределение.
Стоит отметить, что математически обоснованное изложение обобщения формализма на случай неограниченных операторов, работающих с семействами проекторнозначных мер, было сделано еще в 1932 г. фон Нейманом. Его книга «Математические основы квантовой механики» — это маленькая жемчужина, содержащая в то же время прочную математическую основу и очень глубокое понимание лежащей в основе физики. В настоящее время он существует в обновленной редакции, где все формулы переписаны с использованием современного TeX.

Ответы (1)

Не существует собственного вектора, соответствующего непрерывному спектру. Формализм троек Гельфанда также мало помогает в разрешении ваших сомнений и имеет очень мало применений в моем опыте. Одна из причин заключается в том, что эти «обобщенные собственные векторы» находятся не в гильбертовом пространстве, а в большем пространстве, и то, что вы можете сделать с ними, не так уж много с точки зрения строгости (например, они могут действовать — в силу топологической двойственности — только на подмножество векторов гильбертова пространства; они не перемножаются; они не могут действовать на другие обобщенные собственные векторы;...).

Вместо этого спектральная теорема верна для любого самосопряженного оператора. Что еще более важно, существует однозначное соответствие между А е С е л ф А г Дж о я н т ( ЧАС ) и специальные семейства проекций, называемые спектральными семействами (или проекционнозначными мерами). { п Ом } Ом е Б о р е л ( р ) ⊂ л ( ЧАС ) .

Эти проекторы являются обобщением | ψ н ⟩ ⟨ ψ н | , проектирующийся на подпространство с собственным значением н (предполагается, что кратность один); поэтому они проецируются, грубо говоря, на подпространство векторов, где оператор принимает значения только в Ом часть спектра. В самом деле, если обозначить через г п ( λ ) мера относительно спектрального семейства { п Ом } Ом е Б о р е л ( р ) (который может быть строго определен), связанный оператор может быть записан как:

А "=" ∫ р λ г п ( λ ) ;
и связанное разложение тождества может быть записано как:
1 "=" ∫ р г п ( λ ) "=" п р .
Последнее уравнение является правильным математическим способом написания второго уравнения ОП.

Вместо этого другие уравнения не имеют строгого аналога, поскольку нет собственных векторов операторов с непрерывным спектром (конечно, вы можете написать ψ "=" ∫ р г п ( λ ) ( ψ ) , но это не так полезно).

А как насчет ядерной спектральной теоремы? Разве это не должно дать то, что нужно? mathoverflow.net/questions/179932/… (Глядя на обобщенные собственные векторы)
Как сделать строгой идею непрерывной комплектации?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v