Единицы дельта-функции Дирака в квантовой механике

В квантовой механике собственными функциями положения являются дельта-функции Дирака,$A\delta(x-x_0)$, где$A$является некоторой константой. Собственные функции положения обычно нормализуются с помощью «нормализации дельта-функции». Это значит, что$\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$, что можно понять формально, если применить свойство сдвига одной из дельта-функций к другой в интеграле

$$\langle x | x' \rangle = \int_\mathbb{R}\mid A \mid^2\delta(y-x)\delta(y-x')~\mathrm{d}y.$$

Это дает в результате$\mid A \mid^2 \delta(x-x')$, поэтому коэффициент$A$должен быть установлен на$1$. До сегодняшнего дня я думал, что понял это вроде нормально, но теперь я понял, что где-то здесь проблема с размерами. Чтобы такое выражение, как$\int_\mathbb{R} \psi^*(x) \psi(x)~\mathrm{d}x$чтобы быть безразмерными, волновые функции позиционного пространства должны иметь размеры$\frac{1}{\sqrt{L}}$. Это означает, что разложение по собственным функциям положения, например

$$\mid \psi \rangle = \int_\mathbb{R} \psi(x) \mid x \rangle~\mathrm{d} x$$ имело бы смысл только в том случае, если бы сами собственные функции положения имели единицы $\frac{1}{\sqrt{L}}$.

Меня это немного беспокоит, внутренний продукт двухпозиционных собственных функций должен, если взглянуть на интеграл,

$$\langle x | x' \rangle = \int_\mathbb{R}\delta(y-x)\delta(y-x')~\mathrm{d}y$$ быть безразмерными (две вещи с размерами $\frac{1}{\sqrt{L}}$внутри и де $\mathrm{d}x$фактор, с размерами $\frac{1}{L}$), но нормализация дельта-функции подразумевает, что это новая дельта-функция... таким образом, она имеет размеры $\frac{1}{\sqrt{L}}$! Как это можно сделать правильно?

Мне также кажется странным, что в других областях физики (например, в электромагнетизме) дельта-функции обычно имеют размерность$\frac{1}{D}$, где$D$является размерностью аргумента. Кажется, здесь это не так, и я немного смущен этим. Например, при переходе от декартовых координат к полярным в электромагнетизме естественно учитывать

$$\delta(x-x_0) \delta(y-y_0) = \frac{\delta(r-r_0)\delta(\phi-\phi_0)}{r},$$ но это путает единицы в квантовой механике, потому что в квантовой механике левая часть будет иметь другие размеры, чем правая часть ... Возможно, можно было бы рассмотреть $$\frac{\delta(r-r_0)\delta(\phi-\phi_0)}{\sqrt{r}}$$ как правильно записать в QM, но должен быть только один способ написать дельта-функции в разных переменных... не должно ли быть? определитель Якоби должен идти вниз. Как это имеет смысл в QM?