Гамильтониан сохраняется или нет?

Question

Гамильтониан сохраняется или нет?

пользователь43796

Вопрос в самом последнем предложении в конце этого поста. В этом посте я сначала покажу, что гамильтониан сохраняется, поскольку он не имеет явной зависимости от времени, а затем покажу, что гамильтониан не сохраняется, поскольку при прямом вычислении производная не обращается в нуль. Бусина нанизана на вертикальную проволочную петлю без трения радиусом $R$ . Петля вращается относительно фиксированной оси, показанной на рисунке, с постоянной угловой скоростью. $\omega$ . Лагранжиан определяется выражением

л "=" \frac{1}{2} {\dot{θ}}^{2} р^{2} + \frac{1}{2} р^{2} {грех}^{2} θ ю^{2} + г р (потому что θ - 1)

$L=\frac{1}{2}\dot\theta^2R^2+\frac{1}{2}R^2\sin^2\theta\omega^2+gR(\cos\theta-1)$ , где

θ

$\theta$ определяется на рисунке (стрелка возле символа

θ

$\theta$ указывает направление, в котором она увеличивается).

Уравнение движения:

\ddot{θ} "=" грех θ потому что θ ю^{2} - \frac{г}{р} грех θ

$\ddot\theta=\sin\theta\cos\theta\omega^2-\frac gR\sin\theta$

Поскольку гамильтониан определяется выражением $H=\frac{1}{2}\dot\theta^2R^2+\frac{1}{2}R^2\sin^2\theta\omega^2-gR(\cos\theta-1)$ , видим, что явной зависимости от времени нет; поэтому мы ожидаем, что гамильтониан сохраняется. Однако, когда мы напрямую вычисляем полную производную гамильтониана, мы видим, что производная не равна нулю:

\dot{ЧАС} "=" \dot{θ} (\ddot{θ} р^{2} + р^{2} грех θ потому что θ ю^{2} + г р грех θ) "=" 2 \dot{θ} р^{2} грех θ потому что θ ю^{2},

$\dot H=\dot \theta(\ddot \theta R^2+R^2\sin\theta\cos\theta{\omega}^2+gR\sin\theta)=2\dot\theta R^2\sin\theta\cos\theta{\omega}^2,$ где мы используем eom и заменяем

\ddot{θ} R^{2}

$\ddot\theta R^2$ на соответствующие условия.

Беспокойство: здесь явно чего-то не хватает. Я надеюсь, что некоторые другие люди могут помочь указать на некоторую ошибку, которую я сделал в приведенных выше рассуждениях.

Qмеханик

Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/1536244/11127

Ответы (1)

Гамильтониан сохраняется или нет?

Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/1536244/11127

Любопытный Разум · Answer 1

Гамильтониан _ $H(\theta,p_\theta)$ необходимо сформулировать в терминах координат $\theta$ и его канонически сопряженный импульс $p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = R^2 \dot\theta$ . Правильное выражение для гамильтониана:
$\begin{aligned} ЧАС (θ, п_{θ}) & "=" п_{θ} \dot{θ} (θ, п_{θ}) - л (θ, \dot{θ} (θ, п_{θ})) \\ "=" \frac{п_{θ}^{2}}{2 р^{2}} - \frac{1}{2} р^{2} {грех}^{2} (θ) ю^{2} - г р (потому что (θ) - 1) \end{aligned}$ $\begin{align} H(\theta,p_\theta) & = p_\theta \dot{\theta}(\theta,p_\theta) - L(\theta,\dot{\theta}(\theta,p_\theta)) \\ & = \frac{p_\theta^2}{2R^2} - \frac{1}{2}R^2\sin^2(\theta)\omega^2 - gR\left(\cos(\theta)-1\right)\end{align}$ где вы должны быть осторожны со знаками (обратите внимание на другой знак для второго термина по сравнению с вашим). Если взять то же выражение с зависимостью от $\dot{\theta}$ вместо $p_\theta$ , это не гамильтониан, а просто некоторое выражение, которое часто является энергией.
Для общих гамильтоновых систем с не зависящим от времени гамильтонианом в координатах $q$ с импульсами $p$ имеем следующее: поскольку гамильтониан не зависит явно от времени, его производная обращается в нуль при использовании гамильтоновых уравнений движения
$\dot{п} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} \land \dot{д} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п}$ $\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} \quad \land \quad \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$ для гамильтоновой траектории $(q(t),p(t))$ с тех пор, как подключил это к $\frac{г ЧАС}{г т} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п} \dot{п} + \frac{\partial ЧАС}{\partial д} \dot{д}$ $\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial q}\dot{q}$ дает нуль независимо от фактического вида уравнений движения . Если вы получили другой результат, вы просто где-то ошиблись в своих расчетах, не может быть, чтобы гамильтониан не был постоянным вдоль траектории, являющейся решением уравнений движения.

Поскольку гамильтоновы уравнения движения эквивалентны лагранжевым уравнениям движения в этом (без ограничений) случае, оно также должно быть постоянным, если выражается в лагранжевых обобщенных скоростях вместо импульсов.

Когда гамильтониан равен полной энергии, а когда нет?

Гамильтониан сохраняется или нет?

пользователь43796

Qмеханик

Ответы (1)

Любопытный Разум

пользователь43796

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Лагранжиан в гамильтониан

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Потенциальная энергия и закон сохранения

Калибровочная инвариантность гамильтониана

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Инвариантность канонического уравнения Гамильтона при добавлении полной производной по времени функции от qiqiq_i и ttt к лагранжиану

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями