Потенциальная энергия и закон сохранения

Я отвечу на вопрос без лагранжевого формализма. Для краткости поставлю$m = T = x_0 = 1$.

От

$$x(t) = \ln(1+t^2)$$ можно получить скорость $$\dot{x}(t) = \frac{2t}{1+t^2}$$ а потом ускорение $$\ddot{x}(t) = 2\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}$$

Мы хотим получить потенциал$U(x)$, то есть с использованием закона Ньютона (или, что то же самое, уравнения Эйлера-Лагранжа)

$$\frac{\partial U}{\partial x} = -\ddot{x}$$

Итак, мы хотим выразить$\ddot{x}$как функция$x$. Обратив первое уравнение, мы можем выразить$t(x)$:

$$t^2 = e^x-1$$ так $$\frac{\partial U}{\partial x} = 2\frac{e^x-2}{e^{2x}}$$ Окончательное интегрирование дает нам $$U(x) = 2(e^{-2x}-e^{-x}) + C$$

---

Редактировать :

Действительно, гораздо быстрее использовать$U(x) = E - \frac{1}{2}\dot{x}^2$. Давайте выберем$E=0$, потому что добавление константы к$U$не меняет физику.

Используя выражение для$t(x)$выше, у нас есть

$$\dot{x} = \frac{2\sqrt{e^x-1}}{e^x}$$ так $$U(x) = -\frac{1}{2}\frac{4(e^x-1)}{e^{2x}} = 2(e^{-2x}-e^{-x})$$

---

Иметь ввиду$E$, энергия системы (как и кинетическая энергия) является внутренней величиной. Это зависит, например, от начальных условий. Это действительно функция$t$и не$x$. Наоборот, потенциальная энергия может рассматриваться как внешняя величина, независимая от системы (поэтому мы связываем потенциальную энергию$U(x)$каждой точке пространства), а как часть энергии:

$$E(t) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t) + U(x(t))$$ Если вы хотите ментальную картину, $U(x)$это холм, и $E(t)$— полная энергия катящегося мяча (здесь константа).