Гамильтонова теория поля в Peskin & Schroeder

При переходе от лагранжевой картины к гамильтоновой необходимо выбрать то или иное слоение пространства-времени, т. е. выделить определенное направление времени и рассмотреть поверхности постоянного времени. Один простой способ понять это состоит в том, что, хотя лагранжиан является скаляром Лоренца, плотность гамильтониана является времениподобной составляющей плотности четырех импульсов, поэтому ее значение зависит от вашего выбора пространственной и временной осей.

Конечно, с учетом сказанного я не могу придумать причины, по которой вы не можете позволить своим классическим полям включать свою зависимость от времени, как только вы выберете направление времени. Насколько я понимаю, Пескин и Шредер изначально исключили зависимость от времени, чтобы подчеркнуть, что они рассматривают один конкретный временной отрезок. Они также могли иметь в виду, что собираются квантовать свою теорию поля в картине Шредингера, где поля, конечно же, не зависят от времени. Но они также могут быть немного небрежными здесь.

Несмотря на то, что это хорошая книга, ваш вопрос как раз касается серьезной проблемы: хотя в уравнении (2.5) их$\phi$удовлетворяет

Под уравнением (2.20) они явно говорят, что создают картину Шредингера, где операторы явно не зависят от времени. Именно поэтому они подчеркивают$\mathbf{x}$зависимость, а не$t$зависимость тоже.

Это может привести к мысли, что$t$зависимости никогда не было$\mathcal{L}$и$\mathcal{H}$, но это есть в уравнении Клейна-Гордона, и на самом деле они не могли вывести Клейна-Гордона или даже использовать формализм действия без этого.$t$зависимость, поэтому объясняя, как это$t$-зависимость уходит на самом деле важно понять.

Они скрывают переход от$t$зависимости (до (2.25)) от не-$t$-зависимость (от (2.25)) как в обозначениях, которые они используют, так и в аналогии с одномерным гармоническим осциллятором, которую они дают после уравнения (2.20), чтобы доказать, как должны выглядеть правильные независимые от времени поля , очевидно, причина этого подхода состоит в том, чтобы подчеркнуть сходство с гармоническими осцилляторами.

Таким образом, то, что все это правильно, снова скрыто в том, что они делают в разделе (2.4), показывающем картину Гейзенберга, исходя из независимого от времени предположения, которое они сделали для того, каким должен быть независимый от времени оператор изображения Шредингера (2.25), даже несмотря на то, что оператор Клейна - Уравнение Гордона, его решения и действия, которые они использовали для его настройки, явно зависели от времени.

Итак, если предположить, что$t$все еще присутствует в разделе 2.2, это объясняет, почему в разделе перед уравнением (2.4) использовалось$x = (t,\mathbf{x})$обозначение, и просто подчеркивают$\mathbf{x}$зависимости, потому что они хотят попытаться интерпретировать классические поля как независимые от времени операторы изображения Шредингера (как сказано ниже в уравнении (2.20)).

В (2.25)-(2.28) только потому, что они утверждали по аналогии с одномерным гармоническим осциллятором, что они могут записать общее модовое разложение полей$\hat{\phi}$(и так$\pi$) как не зависящее от времени. Но если мы хотим избежать догадок, мы должны быть в состоянии добраться до (2.25) с$t$зависимость все же есть, так что$a_{\mathbf{p}}$действительно$a_{\mathbf{p}}(t)$с. В этой аналогии скрыт очень явный скачок логики, что хорошо, но может сбивать с толку.

Итак, если$\phi$зависит от$t$, и так$x = (t,\mathbf{x})$, единственный способ, которым эта процедура может быть непротиворечивой, - это если временная зависимость «отделяется» от полного расширения квантового или классического поля. Если вы посмотрите между (2.20) и (2.21), они используют временную зависимость полей на$t$в настройке аналогии с 1D Harmonic Oscillator, чтобы они не соответствовали тому, как они справляются с$t$.

Так что на самом деле все это на самом деле является выводом картины Гейзенберга , пока не начинают появляться предположения. Сравните с ([2], гл. 3), который делает аналогичный вывод (без аналогий) в картине Гейзенберга.

Итак, как бы выглядело описание P&S, если бы они не угадали?

Во-первых, нам все равно нужно получить (2.25) дальше. Мы можем просто записать общее модальное расширение$\hat{\phi}$в (2.25) как общее решение уравнения Клейна-Гордона, но с учетом зависимости от времени, т.е.$\hat{\phi}(x) = \hat{\phi}(\mathbf{x},t)$. См. ссылку [3] ниже, уравнения (43.3 - 43.11), если вы хотите увидеть это более подробно.

Теперь нам нужно избавиться от$t$-зависимость в (2.25), чтобы получить перспективу изображения Шредингера. Если вы теперь посмотрите на (2.32), то$[\hat{H},\hat{a}_{\mathbf{p}}] = ...$отношения типа, а точнее их форма через экспоненты в (2.46), это ключевые соотношения, которые позволяют нам это сделать. Так что в этом смысле было бы хорошо сделать далее (2.44) — (2.49).

Затем, используя (2.32)/(2.46), можно просто переписать (теперь зависящее от времени)$\hat{\phi}(\mathbf{x},t)$в (2.25) как (2.43), т.е.

Очевидно, что картина Шредингера должна существовать, поэтому они могут просто предположить, что она существует, но тогда им придется игнорировать тот факт, что они предположили зависимость от времени в уравнении Клейна-Гордона и нашли ее в его решениях, а затем просто предположили, что они приводят к оператору изображения Шредингера . при квантовании, а затем просто опускают детали перехода, рассуждая по аналогии (как это делают после (2.20)) о том, как должны выглядеть не зависящие от времени операторы. Оправдание, по-видимому, состоит в том, что все это работает в разделе 2.4, поскольку, начиная с их основанной на аналогии (2.25), вы получаете из этого (в (2.43)) картину Гейзенберга, которая возвращает уравнение Клейна-Гордона.

Не рассуждая по аналогии, только теперь мы действительно можем сказать, что коммутационные соотношения в (2.20) непротиворечивы. Нам действительно нужно было указать, что они были коммутаторами изображений Гейзенберга в фиксированный момент времени в (2.20) (сравните с [2] уравнение (3.28)). На самом деле они помещают «равное время» в пугающие кавычки ниже после того, как просто заявляют, что они являются независимыми от времени операторами (хотя они используют зависимость от времени сразу после этого и говорят, что выше 2,25 они говорят о классическом гамильтониане Клейна-Гордона, который был получен с использованием полей, зависящих от времени, там просто большой скачок).

Таким образом, это можно прочитать следующим образом: раздел 2.2 имеет зависимость от времени (несмотря на обозначения), так же как и картина Гейзенберга; Раздел 2.3 не имеет зависимости от времени (хотя в (2.21) они используют очень важную зависимость от времени, оправдывая свою аналогию, позволяя избежать деталей того, как избавиться от зависимости от времени), и они используют аналогии, чтобы доказать, что картина Шредингера должнавыглядит как; Раздел 2.4 показывает, что предположение, сделанное ими в разделе 2.3, дает правильные свойства, которые можно было бы ожидать от перехода изображения Гейзенберга-Шредингера. Они могли бы просто вывести картину Шрёдингера, продолжая использовать перспективу картины Гейзенберга и поставить предположение после, чтобы показать, что оно дало ожидаемый ответ, цена, которую нужно заплатить, потенциально заключается в выводе, приведенном в [3] и предполагается, что выгода заключается в использовании знакомства с гармоническими осцилляторами.

Использованная литература:

1. Пескин и Шредер, "Квантовая теория поля", 1-е изд.
2. Средненицкий, "Квантовая теория поля", 1-е изд.
3. Войта « Квантовая теория, группы и представления ».

The $t$-зависимость различных величин подавлена ​​в обозначениях/неявно подразумевается в упомянутом классическом разделе 2.2 P&S. Например, классические поля$\phi$и$\pi$все еще зависит от точки пространства-времени$x=({\bf x},t)$; не только должность${\bf x}$.

Вышеупомянутая классическая история ближе всего связана с картиной Гейзенберга в соответствующей квантовой теории. Как обычно, в картине Шрёдингера операторы не зависят от времени , ср. ответ Болбтеппа.