Значение симплектической формы в классической теории поля

Question

Значение симплектической формы в классической теории поля

Физика
фазовое пространство
теория поля
скобки Пуассона
гамильтоновский формализм
классическая теория поля

Блажей

Я пытаюсь понять значение конструкции, представленной мне на уроке теории поля. Позвольте мне сначала кратко описать его, а затем задать вопросы.

Учитывая два решения $\phi_1$ , $\phi_2$ скалярного волнового уравнения $( \Box + m^2 ) \phi_i =0,$ $i=1,2$ можно определить сохраняющийся ток, заданный выражением

\begin{matrix} (1) & Дж [ф_{1}, ф_{2}] "=" ф_{1} \nabla ф_{2} - ф_{2} \nabla ф_{1}, \end{matrix}

$j[\phi_1, \phi_2] = \phi_1 \nabla \phi _2 - \phi_2 \nabla \phi_1, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot Дж "=" 0 . \end{matrix}

$\nabla \cdot j =0 . \tag{2}$

Это позволяет построить симплектическую форму пространства решений. Выбирается поверхность Коши $\Sigma$ с направленным в будущее единичным вектором нормали $N$ и определяет

\begin{matrix} (3) & {ф_{1}, ф_{2}} "=" \int_{Σ} Н \cdot Дж [ф_{1}, ф_{2}] г^{3} Икс . \end{matrix}

$\{ \phi_1 , \phi_2 \} = \int _{\Sigma} N \cdot j[\phi_1, \phi_2] d^3 x. \tag{3}$

Кроме того, можно показать, что для любого решения $\phi$ можно выбрать функцию $\rho$ такое, что имеет место следующее представление:

\begin{matrix} (4) & \hat{ф} (к) "=" (2 π)^{3 / 2} \hat{Д} (к) \hat{р} (к), \end{matrix}

$\hat{\phi}(k) = (2 \pi)^{3/2} \hat{D}(k) \hat{\rho}(k), \tag{4}$

где шляпа обозначает преобразование Фурье, а $D$ является распределением Паули-Жордана, которое удовлетворяет

\begin{matrix} (5) & \hat{Д} (к) "=" \frac{я}{2 π} с г н (к) дельта (к^{2} - м^{2}) . \end{matrix}

$\hat D (k) = \frac{i}{2 \pi} \mathrm{sgn} (k) \delta (k^2 -m^2).\tag{5}$

Кроме того, это представление единственно с точностью до добавления функции с преобразованием Фурье, обращающейся в нуль на массовой поверхности, или положившей по-другому

\begin{matrix} (6) & ф_{р_{1}} "=" ф_{р_{2}} ⟺ \exists х : р_{1} - р_{2} "=" (◻ + м^{2}) х . \end{matrix}

$\phi _{\rho_1}=\phi_{\rho_2} \iff \exists \chi : \rho_1-\rho_2=(\Box + m^2) \chi. \tag{6}$

Затем строится факторпространство, делящее пространство всех $\rho$ по пространству всего $(\Box +m^2) \chi$ . На этом пространстве симплектическая форма $\sigma (\rho_1, \rho_2)=\{ \phi_{\rho_1}, \phi_{\rho_2} \}$ корректно определен и невырожден. Его также можно переписать как

\begin{matrix} (7) & о (р_{1}, р_{2}) "=" \int р_{1} (Икс) Д (Икс - у) р_{2} (у) г^{4} Икс г^{4} у . \end{matrix}

$\sigma (\rho_1, \rho_2) = \int \rho_1(x) D(x-y) \rho_2(y) d^4 x d^4 y.\tag{7}$

Первый вопрос: являются ли эти симплектические формы ( $\sigma(\cdot, \cdot)$ и $\{ \cdot, \cdot \}$ ) как-то связано со скобкой Пуассона на фазовом пространстве в гамильтоновой механике? Я бы ожидал, что что-то подобное будет правдой, но для этого нужно было бы как-то интерпретировать $\rho$ как функцию на некотором бесконечномерном фазовом пространстве. Мне интересно, можно ли это сделать. И второй, но тесно связанный с этим вопрос: как интерпретируются эти $\rho$ функции? Наш лектор сказал нам, что о них следует думать как о степенях свободы поля, но опять же, я не совсем понимаю. Немного интуиции здесь было бы неплохо.

Блажей

Это из курса теории поля, который охватывает спиноры, лагранжев формализм для полей, задачу Коши, некоторые свойства скалярных волновых уравнений, электродинамику, уравнения Вейля и Дирака и в самом конце затрагивает тему КТП (только свободные поля). Эта симплектическая форма появляется позже при введении квантового скалярного поля, например, в коммутационных соотношениях

[Φ (ρ_{1}), Φ (ρ_{2})] = i σ (ρ_{1}, ρ_{2})

$[\Phi (\rho_1),\Phi (\rho_2)]=i \sigma (\rho_1, \rho_2)$ . Аналогия

ρ

$\rho$ к

x

$x$ и

p

$p$ в обычном QM было подчеркнуто, но я упускаю здесь что-то важное. И этот курс не онлайн и не использует учебник :(

Ответы (1)

Значение симплектической формы в классической теории поля

Это из курса теории поля, который охватывает спиноры, лагранжев формализм для полей, задачу Коши, некоторые свойства скалярных волновых уравнений, электродинамику, уравнения Вейля и Дирака и в самом конце затрагивает тему КТП (только свободные поля). Эта симплектическая форма появляется позже при введении квантового скалярного поля, например, в коммутационных соотношениях $[\Phi (\rho_1),\Phi (\rho_2)]=i \sigma (\rho_1, \rho_2)$ . Аналогия $\rho$ к $x$ и $p$ в обычном QM было подчеркнуто, но я упускаю здесь что-то важное. И этот курс не онлайн и не использует учебник :(

Qмеханик · Answer 1

Первая часть конструкции ОП напрямую связана с ковариантным гамильтоновым формализмом для вещественного скалярного поля с лагранжевой плотностью
$\begin{matrix} (КВ4) & л "=" \frac{1}{2} \partial_{α} ф \partial^{α} ф - В (ф), \end{matrix}$ ${\cal L} ~=~ \frac{1}{2}\partial_{\alpha} \phi ~\partial^{\alpha} \phi -{\cal V}(\phi), \tag{CW4}$ см., например, ссылку [CW] и этот пост Phys.SE. См. также метод Вронскиана в этом посте Phys.SE. [В этом ответе мы используем $(+,-,-,-)$ Соглашение о подписи Минковского и установка постоянной Планка $\hbar=1$ к одному.] Уравнения ОП. (1)-(3) соответствуют в [1]. [CW] к симплектическому току 2-формы $\begin{matrix} (КВ14) & {Дж}^{α} (Икс) "=" дельта ф_{с л} (Икс) \land \partial^{α} дельта ф_{с л} (Икс); \end{matrix}$ $J^{\alpha}(x) ~=~ \delta \phi_{\rm cl}(x) \wedge \partial^{\alpha} \delta\phi_{\rm cl} (x); \tag{CW14}$ который сохраняется $\begin{matrix} (КВ15) & \partial_{α} {Дж}^{α} (Икс) \approx 0; \end{matrix}$ $\partial_{\alpha} J^{\alpha}(x)~\approx~0 ;\tag{CW15}$ и симплектическая 2-форма $\begin{matrix} (КВ16) & ю "=" \int_{Σ} г Σ_{α} {Дж}^{α} \end{matrix}$ $\omega ~=~\int_{\Sigma} \!\mathrm{d}\Sigma_{\alpha} ~J^{\alpha} \tag{CW16}$ на пространстве классических решений соответственно. (Обратите внимание, что в [CW] обозначена бесконечномерная внешняя производная с $\delta$ а не $\mathrm{d}$ .) Если мы выберем стандартную начальную временную поверхность $\Sigma=\{x^0=0\}$ , мы возвращаемся к стандартной симплектической 2-форме $\begin{matrix} (КВ17) & ю "=" \int_{Σ} дельта ф_{с л} \land дельта {\dot{ф}}_{с л} . \end{matrix}$ $\omega ~=~\int_{\Sigma} \delta \phi_{\rm cl} \wedge \delta \dot{\phi}_{\rm cl}. \tag{CW17}$
Во второй части построения ОП мы специализируемся на квадратичном потенциале
$\begin{matrix} (А) & В (ф) "=" \frac{1}{2} м^{2} ф^{2}, \end{matrix}$ ${\cal V}(\phi) ~=~\frac{1}{2}m^2\phi^2, \tag{A}$ т.е. свободное поле.

Последнее уравнение ОП. (7) соответствует стандартному неодновременному коммутатору

\begin{matrix} (ИЗ3-55) & [ф (Икс), ф (у)] "=" я Δ (Икс - у), \end{matrix}

$[\phi(x),\phi (y)]~=~ i\Delta(x\!-\!y) , \tag{IZ3-55}$ где

\begin{matrix} (ИЗ3-56) & \begin{aligned} Δ & (Икс - у) \\ "=" \frac{1}{я} \int \frac{г^{4} к}{(2 π)^{3}} дельта (к^{2} - м^{2}) с г н (к^{0}) е^{- я к \cdot (Икс - у)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \Delta&(x\!-\!y) \cr &= \frac{1}{i} \int \! \frac{d^4k}{(2\pi)^3} \delta(k^2\!-\!m^2) ~{\rm sgn}(k^0)~ e^{-ik\cdot (x-y)},\end{align} \tag{IZ3-56}$ см., например, ссылку [ИЗ]. Для сравнения с уравнением ОП. (7), смажьте коммутатор (ИЗ3-55) двумя тестовыми функциями

ρ_{1}

$\rho_1$ и

ρ_{2}

$\rho_2$ . Дифференциация относительно ко времени

y^{0}

$y^0$ урожаи

\begin{matrix} (Б) & \begin{aligned} [ф (Икс), π (у)] "=" & [ф (Икс), \dot{ф} (у)] \\ "=" & я потому что (ю_{к} ({Икс}^{0} - у^{0})) {дельта}^{3} (Икс - у), \\ ю_{к} "=" & \sqrt{к^{2} + м^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\phi(x),\pi (y)] ~=~&[\phi(x),\dot{\phi} (y)]\cr ~=~& i\cos(\omega_{\bf k} (x^0\!-\!y^0))~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \omega_{\bf k}~:=~&\sqrt{{\bf k}^2+m^2}.\end{align} \tag{B}$ уравнения (ИЗ3-55), (ИЗ3-56) и (Б) подразумевают стандартную равновременную УЦР ,

\begin{matrix} (ИЗ3-3) & \begin{aligned} [ф (т, Икс), ф (т, у)] "=" & 0, \\ [ф (т, Икс), π (т, у)] "=" & я {дельта}^{3} (Икс - у), \\ [π (т, Икс), π (т, у)] "=" & 0 . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})] ~=~&0, \cr [\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})] ~=~&i\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr [\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})]~=~&0 . \end{align} \tag{IZ3-3}$ CCR (IZ3-3), в свою очередь, связан со стандартной канонической скобкой Пуассона

\begin{matrix} (С) & \begin{aligned} {ф (т, Икс), ф (т, у)}_{п Б} "=" & 0, \\ {ф (т, Икс), π (т, у)}_{п Б} "=" & {дельта}^{3} (Икс - у), \\ {π (т, Икс), π (т, у)}_{п Б} "=" & 0 \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \{\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0, \cr \{\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB}~=~&\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \{\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0 \end{align} \tag{C}$ через принцип соответствия между квантовой механикой и классической механикой, ср. например, этот пост Phys.SE.

Использованная литература:

[CW] К. Црнкович и Э. Виттен, Ковариантное описание канонического формализма в геометрических теориях. Опубликовано в журнале «Триста лет гравитации» (ред. С. В. Хокинг и В. Исраэль), (1987) 676.
[IZ] C. Itzykson & JB Zuber, QFT, 1985, p.117-118.

Значение симплектической формы в классической теории поля

Блажей

Блажей

Ответы (1)

Qмеханик

Коммутируют ли в гамильтоновой теории поля пространственные производные со скобками Пуассона?

Сбивающий с толку момент гамильтониана для частицы, взаимодействующей с электромагнитными полями.

Свойство скобок Пуассона как необходимое и достаточное условие каноничности преобразования?

Сохраняющиеся заряды/константы движения на и вне оболочки

Одномерная система гамильтонова система?

Есть ли связь между скобками Пуассона и матрицей Якоби?

Аналогия тензорного оператора в классической физике

Каноническое преобразование уравнения Гамильтона

Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

Гамильтонова теория поля в Peskin & Schroeder