Гауссово распределение вероятностей?

Question

Гауссово распределение вероятностей?

Физика
волновая функция
квантовая механика
Гейзенберг-принцип-неопределенности

пользователь40229

о_{Икс} о_{п} \geq \frac{ℏ}{2} .

$\sigma _{{x}}\sigma _{{p}}\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

Во многих источниках упоминается, что распределение вероятности положения и импульса частицы будет соответствовать распределению Гаусса.

Почему распределение Гаусса? это распределение, которое минимизирует неопределенность? Это распределение точно соответствует принципу неопределенности или оно может быть разным в разных условиях? Это доказано?

Каковы формулы для распределения вероятностей положения и импульса свободной частицы? Как это получается из волновой функции? Какими были бы формулы распределения вероятностей положения и импульса для системы двух одинаковых бозонов, разделенных расстоянием $R$ ?

пользователь10851

Является ли это распределением, которое минимизирует неопределенность? Об этом одном примечании Википедия говорит следующее : «Нормальное распределение насыщает неравенство [принципа энтропийной неопределенности], и это единственное распределение с таким свойством, потому что это максимальное распределение энтропийной вероятности среди тех, у кого фиксированная дисперсия». Только не путайте теоретико-информационную энтропию и стандартные отклонения Фурье/кванта.

Педро Лауридсен Рибейро

Не существует совместного распределения вероятностей для положения и импульса квантовой частицы именно потому, что эти две наблюдаемые не коммутируют. Объект, который больше всего похож на него, — это так называемая функция Вигнера ( en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution ), которая не является истинной плотностью вероятности, поскольку она не везде неотрицательна. Это также, безусловно, не является (сложным) гауссианом в целом - это происходит именно тогда, когда принцип неопределенности минимизируется, как это наблюдал сам Шредингер. Соответствующее состояние называется когерентным состоянием.

пользователь40229

@ Педро Означает ли это, что распределение вероятностей квантовой частицы само по себе является неопределенной формулой и невозможно иметь точную формулу распределения для конкретного конкретного случая? например свободная частица без потенциала в пространстве.

Педро Лауридсен Рибейро

Нет, это просто означает, что у вас не может быть распределения вероятностей для квантовой частицы в фазовом пространстве . Конечно, у вас есть это для всех возможных значений одной наблюдаемой (например, позиции или импульса). В более общем случае, если у вас есть

n

$n$ наблюдаемые

O_{1}, \dots, O_{n}

$O_1,\ldots,O_n$ которые коммутируют (вплоть до тонкостей домена для неограниченных наблюдаемых, которые нас здесь не касаются), вы можете найти совместное распределение вероятностей для их возможных значений.

пользователь40229

@ Педро. Спасибо. Если мы измерим положение частицы с помощью Δx, дав неопределенность в импульсе ΔP=ℏ/(2Δx), то каковы будут соответствующие распределения вероятностей?

Педро Лауридсен Рибейро

В этом случае, я полагаю, вы имеете в виду состояние минимальной неопределенности, такое, что

Δ x

$\Delta x$ - стандартное отклонение плотности вероятности положения состояния. В позиционном пространстве амплитуда будет (с точностью до фазы) гауссианой со стандартным отклонением

\frac{Δ x}{2}

$\frac{\Delta x}{2}$ . Его преобразование Фурье дает еще одну гауссиану (с точностью до фазы), на этот раз со стандартным отклонением

ℏ / (4 Δ x)

$\hbar/(4\Delta x)$ . Средний импульс связан с выбором фазы в пространстве положений, и наоборот. Оттуда вы также можете вычислить соответствующую функцию Вигнера, как в ссылке Wiki, которую я разместил выше.

пользователь40229

Предположим, у нас есть газ в ящике при заданной температуре и давлении, что мы можем сказать о средней неопределенности положения и импульса частиц? Каковы были бы средние распределения вероятностей для положения и количества движения атомов газа?

Педро Лауридсен Рибейро

Кстати: обратите внимание, что приведенная выше форма амплитуды сохраняется только за счет свободной динамики (т.е. эволюции во времени, заданной уравнением Шредингера с нулевым потенциалом).

Педро Лауридсен Рибейро

Как только ваши частицы окажутся в ящике, динамика перестанет быть свободной (это означает, что вы должны думать о ящике как о бесконечной потенциальной яме). Возможно, вам следует разместить его как отдельный вопрос, сославшись заодно на этот (возможно, аналогичный комментарий относится и к вашему последнему вопросу).

пользователь35033

-1. Здесь задано буквально семь вопросов. Один из них, например, «Почему это распределение Гаусса», который даже не соответствует действительности (не всегда).

Ответы (2)

Гауссово распределение вероятностей?

Является ли это распределением, которое минимизирует неопределенность? Об этом одном примечании Википедия говорит следующее : «Нормальное распределение насыщает неравенство [принципа энтропийной неопределенности], и это единственное распределение с таким свойством, потому что это максимальное распределение энтропийной вероятности среди тех, у кого фиксированная дисперсия». Только не путайте теоретико-информационную энтропию и стандартные отклонения Фурье/кванта.
Не существует совместного распределения вероятностей для положения и импульса квантовой частицы именно потому, что эти две наблюдаемые не коммутируют. Объект, который больше всего похож на него, — это так называемая функция Вигнера ( en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution ), которая не является истинной плотностью вероятности, поскольку она не везде неотрицательна. Это также, безусловно, не является (сложным) гауссианом в целом - это происходит именно тогда, когда принцип неопределенности минимизируется, как это наблюдал сам Шредингер. Соответствующее состояние называется когерентным состоянием.
@ Педро Означает ли это, что распределение вероятностей квантовой частицы само по себе является неопределенной формулой и невозможно иметь точную формулу распределения для конкретного конкретного случая? например свободная частица без потенциала в пространстве.
Нет, это просто означает, что у вас не может быть распределения вероятностей для квантовой частицы в фазовом пространстве . Конечно, у вас есть это для всех возможных значений одной наблюдаемой (например, позиции или импульса). В более общем случае, если у вас есть $n$ наблюдаемые $O_1,\ldots,O_n$ которые коммутируют (вплоть до тонкостей домена для неограниченных наблюдаемых, которые нас здесь не касаются), вы можете найти совместное распределение вероятностей для их возможных значений.
@ Педро. Спасибо. Если мы измерим положение частицы с помощью Δx, дав неопределенность в импульсе ΔP=ℏ/(2Δx), то каковы будут соответствующие распределения вероятностей?
В этом случае, я полагаю, вы имеете в виду состояние минимальной неопределенности, такое, что $\Delta x$ - стандартное отклонение плотности вероятности положения состояния. В позиционном пространстве амплитуда будет (с точностью до фазы) гауссианой со стандартным отклонением $\frac{\Delta x}{2}$ . Его преобразование Фурье дает еще одну гауссиану (с точностью до фазы), на этот раз со стандартным отклонением $\hbar/(4\Delta x)$ . Средний импульс связан с выбором фазы в пространстве положений, и наоборот. Оттуда вы также можете вычислить соответствующую функцию Вигнера, как в ссылке Wiki, которую я разместил выше.
Предположим, у нас есть газ в ящике при заданной температуре и давлении, что мы можем сказать о средней неопределенности положения и импульса частиц? Каковы были бы средние распределения вероятностей для положения и количества движения атомов газа?
Кстати: обратите внимание, что приведенная выше форма амплитуды сохраняется только за счет свободной динамики (т.е. эволюции во времени, заданной уравнением Шредингера с нулевым потенциалом).
Как только ваши частицы окажутся в ящике, динамика перестанет быть свободной (это означает, что вы должны думать о ящике как о бесконечной потенциальной яме). Возможно, вам следует разместить его как отдельный вопрос, сославшись заодно на этот (возможно, аналогичный комментарий относится и к вашему последнему вопросу).
-1. Здесь задано буквально семь вопросов. Один из них, например, «Почему это распределение Гаусса», который даже не соответствует действительности (не всегда).

гнаться · Answer 1

Я считаю, что это можно отнести к центральной предельной теореме , которая утверждает, что большое количество выборок из совокупности с четко определенной дисперсией будет следовать гауссовскому распределению. Ключевая идея состоит в том, что из-за квантовой механики мы должны рассматривать и положение, и импульс как случайные величины ; принцип неопределенности дает нам связь между дисперсией двух величин.

Мы не можем говорить о «формуле положения» как таковой ; однако мы можем вывести детерминированную формулу для волновой функции , которая представляет собой плотность вероятности для этих случайных величин. Точная форма волновой функции зависит от задачи, но в принципе может быть получена из уравнения Шрёдингера .

В Википедии есть хорошая статья о бесплатной частице . Гамильтониан для свободной частицы с фиксированным импульсом $\mathbf{p}$ является $\mathcal{H} = \mathbf{p}^2/2m$ (потенциал равен нулю). Собственные состояния этого гамильтониана представляют собой плоские волны в позиционном пространстве (то есть их волновые функции колеблются в пространстве и времени):

ψ (Икс, т) "=" А е^{я (Икс \cdot п - Е т) / ℏ}

$\psi(\mathbf{x}, t) = Ae^{i(\mathbf{x}\cdot\mathbf{p}-Et)/\hbar}$ это означает, что распределение вероятностей просто:

{| ψ (Икс, т) |}^{2} "=" {| А |}^{2}

$\left|\psi(\mathbf{x},t)\right|^2 = \left|A\right|^2$ которая является константой , не зависящей от положения

x

$\mathbf{x}$ . Обратите внимание, что эту волновую функцию нельзя перенормировать до единицы, но вывод состоит в том, что частица с равной вероятностью может находиться где угодно . Это согласуется с принципом неопределенности: поскольку мы указали

p

$\mathbf{p}$ точно (

σ_{p} = 0

$\sigma_p=0$ ), неопределенность положения бесконечна.

Для более сложных систем гамильтониан не всегда точно известен; это часто имеет место в многочастичных системах, таких как атомы. В других случаях гамильтониан известен, но не может быть решен аналитически.

Какая формула для свободной частицы в космосе с нулевым потенциалом будет представлять распределение вероятностей, полученное из уравнения Шредингера?
Я обновил свой ответ, чтобы включить более подробную информацию о случае свободных частиц. Дайте мне знать, если это все еще неясно.
Спасибо. Если мы измерим положение частицы до $\Delta x$ дающий неуверенность в импульсе $\Delta P = \hbar/(2 \Delta x)$ - тогда каковы будут соответствующие распределения вероятностей?

Винтер · Answer 2

Неверно, что распределение вероятностей $x$ и $p$ вообще являются гауссовыми.

Возьмем простую систему частиц, движущихся в некотором потенциале $V(x)$ .

Распределение вероятностей $x$ - квадрат волновой функции $\Psi(x)$ частицы, т.е. вероятность нахождения вашей частицы в $[x,x+dx]$ является $|\Psi(x)|^2dx$ .

Распределение вероятностей $p$ - квадрат волновой функции импульсного пространства $\Psi(p) = \int dx \Psi(x) e^{ipx}$ (преобразование Фурье $\Psi(x)$ ).

Только тогда, когда волновая функция $\Psi(x)$ является гауссианом, что принцип неопределенности минимизируется, т.е. $\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2}$ . См. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Uncertainty_principle ) доказательство того, что $\frac{\hbar}{2}$ является нижним пределом.

Теперь, почему именно гауссовский? Для минимизации произведения неопределенности нам нужна волновая функция, которая достаточно хорошо локализована как в реальном пространстве, так и в пространстве Фурье. Если мы сжимаем функцию в реальном пространстве, а она расширяется в пространстве Фурье, и наоборот. Гауссиана оказывается уникальной функцией, которая сохраняет свою «форму» при преобразовании Фурье, т. е. преобразование Фурье гауссианы (с дисперсией $\sigma^2$ ) просто еще один гауссиан (с дисперсией $1/(4\sigma^2)$ ), а произведение дисперсии (неопределенности) остается константой, не зависящей от $\sigma$ .

Наконец, существует множество систем, в которых принцип неопределенности не минимизируется. Самый простой пример — «частица в коробке» ( http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box ). Здесь основное состояние имеет $\sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2} \times \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2}$

Спасибо. Например, газ в ящике при заданной температуре и давлении, что мы можем сказать о средней неопределенности положения и импульса частиц? Каковы были бы средние распределения вероятностей для положения и количества движения атомов газа?
Это будет зависеть от того, как частицы взаимодействуют друг с другом. Такого расчета я еще не видел. UP не так интересен для таких больших систем, поскольку мы не измеряем и не говорим об отдельных атомах, когда у нас есть газ: его макроскопические параметры, такие как давление и температура, имеют значение. В любом случае, если частицы не взаимодействуют (сталкиваются), то общая волновая функция является просто произведением отдельных волновых функций, и мы имеем то же соотношение неопределенностей для каждой из частиц газа, что и для отдельной частицы в коробка.

Гауссово распределение вероятностей?

пользователь40229

пользователь10851

Педро Лауридсен Рибейро

пользователь40229

Педро Лауридсен Рибейро

пользователь40229

Педро Лауридсен Рибейро

пользователь40229

Педро Лауридсен Рибейро

Педро Лауридсен Рибейро

пользователь35033

Ответы (2)

гнаться

пользователь40229

гнаться

пользователь40229

Винтер

пользователь40229

Винтер

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Симметрия обращения времени в уравнении Шредингера и эволюция волнового пакета

Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Как определить степень локализации волновой функции?

Причина распространения волнового пакета Гаусса

Является ли ширина частиц следствием принципа неопределенности Гейзенберга?

Зачем сложные функции для объяснения корпускулярно-волнового дуализма?

Возможно ли, чтобы ΔxΔx\Delta x (σxσx\sigma_x) любого волнового пакета свободной частицы в любой момент времени уменьшалось?

Существует ли событие рассеяния, если две волновые функции перекрываются в импульсном пространстве?