Как определить степень локализации волновой функции?

Question

Как определить степень локализации волновой функции?

Физика
статистика
волновая функция
квантовая механика
Гейзенберг-принцип-неопределенности

Сьюзан Дейзи

Предположим, что существует волновая функция $\Psi (x,0)$ где 0 относится к $t$ . Скажем также, что $a(k) = \frac{C\alpha}{\sqrt{\pi}}\exp(-\alpha^2k^2)$ – спектральный состав (спектральные амплитуды), где $k$ определяется как волновое число $k$ . $\alpha$ и $C$ являются константами.

Мой вопрос в том, почему мы вычисляем $\Delta x$ глядя на то, где значение $\Psi (x)$ уменьшить на $1/e$ от максимально возможного значения $\Psi (x)$ ?

Кроме того, хотя ширина $\Psi (x)$ пакет $4\alpha$ , мы определяем $\Delta x$ как $\alpha$ . Почему это так?

Кстати, $\Delta x$ используется как в принципе неопределенности.

Ответы (1)

Как определить степень локализации волновой функции?

Дэвид З. · Answer 1

$\Delta x$ фактически является стандартным отклонением позиции. Его можно рассчитать по формуле

Δ {Икс}^{2} "=" \int Ψ^{*} (Икс) (Икс - ⟨ Икс ⟩)^{2} Ψ (Икс) г Икс

$\Delta x^2 = \int\Psi^*(x)\bigl(x - \langle x\rangle\bigr)^2\Psi(x)\mathrm{d}x$

где $\langle x\rangle = \int \Psi^*(x)x\Psi(x)\mathrm{d}x$ это математическое ожидание позиции. Или вы можете вычислить его в представлении импульса (я думаю, это будет представление волнового числа), используя

Δ {Икс}^{2} "=" \int а^{*} (к) (Икс - ⟨ Икс ⟩)^{2} а (к) г к

$\Delta x^2 = \int a^*(k)\bigl(x - \langle x\rangle\bigr)^2 a(k)\mathrm{d}k$

но в этом случае $x$ теперь оператор позиции, $x = i\frac{\partial}{\partial k}$ . Все эти формулы появляются в любом вводном справочнике по квантовой механике.

Если вы подставите формулу, которая у вас есть для $a(k)$ , используя соответствующую нормализацию, вы обнаружите, что $\Delta x = \alpha$ .

Я немного запутался; почему мой учебник показывает мне это $\Delta x$ связано с шириной волнового пакета (ось x волновой функции)? Они используют его для расчета $\Delta x \Delta k$ .... Редактировать: я думаю, что могу вычеркнуть комментарий раньше; так это только приближение к уравнению, представленному выше?
Хорошо, а как определить ширину волнового пакета? Обычно ширина определяется как стандартное отклонение, рассчитанное по формуле, подобной той, что была в моем ответе. Но если вы используете другое определение, естественно, оно может не совпадать. Волновая функция Гаусса на самом деле никогда не падает до нуля, поэтому нет единственного способа определить ширину.

Как определить степень локализации волновой функции?

Сьюзан Дейзи

Ответы (1)

Дэвид З.

Сьюзан Дейзи

Дэвид З.

Гауссово распределение вероятностей?

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Система двух частиц

Симметрия обращения времени в уравнении Шредингера и эволюция волнового пакета

Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Причина распространения волнового пакета Гаусса

Является ли ширина частиц следствием принципа неопределенности Гейзенберга?

Статистическая интерпретация волновой функции против интерпретации колебаний

Зачем сложные функции для объяснения корпускулярно-волнового дуализма?