Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Путь к принципу неопределенности был примерно таким:

В блестящей статье Гейзенберга 1925 года [1] он обращается к проблеме линейчатых спектров, вызванных атомными переходами. Начиная с известного

$$\omega(n, n-\alpha) = \frac{1}{\hbar}\{W(n)-W(n-\alpha) \}$$ куда $\omega$- угловые частоты, $W$это энергии и $n, \alpha$являются целочисленными метками, говорит он, в основном «давайте попробуем построить теорию, которая избегает упоминания положения электрона $x(t)$ потому что мы никогда не сможем его наблюдать ».

Однако в периодической системе (которой являются орбиты электрона) эту ненаблюдаемую величину для случая, когда электрон находится в состоянии, обозначенном n, можно разложить в Фурье

$$x(n,t)=\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}X_{\alpha}(n)exp[i\omega(n)\alpha t]$$ Коэффициенты Фурье помечены двумя целыми числами $\alpha$а также $n$, и Гейзенберг переписывает эти коэффициенты как $X(n,n-\alpha)$(На самом деле он использует обозначение $\mathcal{U}$, но $X$легче соотнести с тем, что это на самом деле!). Это величина с двумя целочисленными метками, т.е. матрица . Мы видим, что анализ Фурье был тесно связан с мышлением Гейзенберга.

В современной терминологии$X(n, n-\alpha)$просто матричный элемент$\langle n-\alpha |\hat{X}|n \rangle$оператора позиции$\hat{X}$для собственных состояний энергии$|n \rangle$,$|n-\alpha \rangle$

Применяя матричное представление Гейзенберга к позиции$X$и импульс$P$операторов Борн и Жордан [2] смогли вывести коммутационное соотношение

$$PX - XP = -i\hbar$$ Гейзенберг [3] понимает, что это разбиение фазового пространства на ячейки размерности $h$и использует это, чтобы вывести приблизительный принцип неопределенности.

Итак, возвращаясь к вопросу: нет, Гейзенберг явно не пришел к принципу неопределенности, рассматривая Фурье-анализ волновых пакетов , а скорее как следствие коммутационных соотношений , возникших как следствие открытой им матричной механики. . Но да, анализ Фурье имел решающее значение для его рассуждений.

Редактировать: это очень полезная ссылка для оригинального мышления Гейзенберга о матричной механике.

[1]: Гейзенберг "Ueber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen" Z. Phys 33 879-893 (1925)

[2]: Борн Джордан Зур Quantenmechanik Z. Phys 34 858-888 (1925)

[3]: Heisenbertg Uber den anschhaulichten Inhalt der quantenttheoretischen Kinematic und Mechanik Z. Phys 43 3-4 172-198 (1927)

Вы можете послушать, как Гейзенберг вспоминает об открытии здесь :

вы можете сказать, ну, эта орбита действительно не полная орбита. На самом деле в каждый момент времени электрон имеет только неточное положение и неверную скорость, и между этими двумя неточностями есть такое соотношение неопределенностей.

Это произошло из-за разговора с Эйнштейном об орбитах электронов. Преобразование Фурье не упоминается (однако совершенно очевидно, что Гейзенберг был хорошо знаком с его концепцией).