Геодезическое уравнение и нормализация 4-скорости

Вопрос заключается в том, чтобы показать, что$u_\mu u^\mu$не изменится при движении по геодезической. Тривиально это или нет, зависит от того, как именно вы доказали, что$\frac{dx^\mu}{d\tau}$, и будьте осторожны, потому что геодезическое уравнение не является инвариантным при произвольной репараметризации. Другими словами, если вместо правильного времени вам хочется использовать странную функцию$\lambda(\tau)$как параметр,$v^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}$не будет удовлетворять тому же геодезическому уравнению. Он по-прежнему будет транспортироваться параллельно, но с ковариантной производной, равной кратной самой себе:

$$v^\mu \nabla_\mu v^\nu = \kappa(\lambda)v^\nu$$

Опять же детали зависят от того, как именно вы все доказали. Стандартный способ, который я знаю, состоит в том, чтобы определить геодезическую как кривую, которая параллельно переносит свой касательный вектор, т.е. она удовлетворяет приведенному выше уравнению для$v^\mu$. Затем вы показываете, что можете перепараметризировать так, чтобы правая часть стала равной нулю, а затем показываете, о чем спрашивает ваш вопрос: если правая часть равна нулю, квадрат касательного вектора постоянен. Это позволяет выбрать параметр так, чтобы$u_\mu u^\mu = -1$, т.е. ваша кривая теперь параметризована длиной дуги, т.е. собственным временем.

Кстати, будьте осторожны с различием между тангенциальным вектором и четырьмя скоростями. Вы можете определить касательный вектор для любой кривой, используя любой параметр, но четыре скорости определены только для времениподобных кривых и используют собственное время в качестве параметра, чтобы он был нормализован. Это относится ко второй части вашего уравнения: если ваша кривая является геодезической и$u^\mu$любой касательный вектор,$u^\mu/|u|$удовлетворяет геодезическому уравнению с правой стороной, равной нулю, но$u^\mu$в общем случае удовлетворяет геодезическому уравнению, которое я написал выше.