Геометрическая интерпретация электромагнетизма

1. Теория Калуцы-Клейна. Это похоже на общую теорию относительности, но вместо трех пространственных измерений плюс время есть четыре пространственных измерения плюс время. Четвертое измерение является циклическим и удовлетворяет некоторым условиям симметрии. Электромагнитный потенциал появляется как компоненты метрики в четвертом пространственном измерении. Обычно его отвергают на том основании, что мы не можем видеть четвертое пространственное измерение или что оно сделано слишком маленьким, чтобы его можно было увидеть. Фактически условия симметрии по этому измерению делают его неразличимым, и движение по нему эквивалентно калибровочному преобразованию. Итак, это единственное свидетельство, предсказанное теорией, независимо от того, насколько большим мы делаем циклическое измерение. Что приводит нас к

2. Калибровочная теория. Как упоминал DImension10 Abhimanyu PS, электромагнетизм может быть описан калибровочной теорией, калибровочная группа которой$U(1)$; электромагнитный потенциал становится соединением, а электромагнитное поле — кривизной, связанной с соединением. На самом деле это группа симметрии четвертого измерения в теории Калуцы-Клейна. Для математиков калибровочная теория описывается в терминах главных расслоений, которые, если калибровочная группа$U(1)$, на самом деле являются 4 + 1-мерными пространствами, удовлетворяющими условиям симметрии, как в теории Калуцы-Клейна. Таким образом, математически они эквивалентны, хотя существуют варианты теории Калуцы-Клейна, которые не могут быть описаны стандартной калибровочной теорией.

3. Теория Райнича-Мизнера-Уилера. Есть способ получить электромагнетизм из геометрии в 4-м пространстве-времени общей теории относительности.Райнич смог дать в 1925 году необходимые и достаточные условия искривления пространства-времени, что соответствует электромагнитному полю. По уравнению Эйнштейна кривизна пространства-времени связана с полем. Итак, Райнич решил посмотреть, можно ли получить электромагнитное поле из кривизны, используя уравнение Эйнштейна. Он нашел некоторые необходимые и достаточные условия для тензора Риччи, которые носят алгебраический и дифференциальный характер. Это работает для электромагнетизма без источника. Существует неоднозначность, обусловленная двойственностью Ходжа между электрическим и магнитным полями, для уравнений Максвелла без источника. Итак, в основном, поле восстанавливается до фазового фактора, называемого цветом лица. Три десятилетия спустя эта идея была повторно открыта Мизнером и Уилером, которые объединили ее с червоточинами Эйнштейна и Розена. Они интерпретировали концы червоточин как пары электрически заряженных частиц-античастиц. Электромагнитное поле, с этой точки зрения, не нуждается в источнике, поскольку силовые линии проходят через червоточину. Хотя эта идея может показаться странной, она позволила получить «заряд без заряда» и зафиксировать неопределенный фазовый коэффициент. У этой модели частиц были некоторые проблемы, например, она не могла объяснить вращение, и Мизнер и Уилер отказались от нее.

Геометрическая интерпретация исходит из сходства ковариантных производных между общей теорией относительности и квантовой теорией поля.$\nabla_\mu -\partial_\mu$в общей теории относительности вы получаете символ Кристоффеля (хотя он сжимается в реальной операции), который представляет собой напряженность гравитационного поля. Аналогично в КЭД,$\nabla_\mu -\partial_\mu = ig_sA_\mu$, который измеряет напряженность электромагнитного поля.

Это приводит к геометрической интерпретации электромагнетизма, в которой это кривизна на$U(1)$расслоение (и вообще для калибровочной теории калибровочная сила представляет собой кривизну расслоения соответствующей калибровочной группы).