Кручение пространства-времени, тензор спина и собственный спин в теории Эйнштейна-Картана

Позвольте мне сначала отослать вас к следующему обзору И.Л. Шапиро, который содержит много теоретической и феноменологической информации о кручении пространства-времени. Ответ будет в основном основан на этом обзоре.

В основной теории Эйнштейна-Картана, в которой антисимметричная часть связи принимается как независимые дополнительные степени свободы, кручение не является динамическим: (за исключением поверхностного члена, который не дает вклада в уравнения движения).

В дальнейшем будет рассматриваться только минимальное взаимодействие с гравитацией (в котором плоский метрический тензор заменяется полным метрическим тензором, а производные заменяются ковариантными производными). Существует огромное количество предложений неминимальных муфт, в большинстве из которых кручение становится динамическим.

Вклад кручения в гравитационную часть лагранжиана квадратичен по компонентам кручения, см. уравнение Шапиро: (2.15), где дополнительные члены к кручению могут быть более экономично выражены с использованием тензора кручения, компоненты которого являются линейными комбинациями кручения тензор:

$$K_{\alpha\beta\gamma} = T_{\alpha\beta\gamma} -T_{\beta\alpha\gamma}-T_{\gamma\alpha\beta}$$

Минимальная связь скалярного поля с гравитацией не требует ковариантных производных, потому что ковариантная производная скаляра идентична его обычной производной, поэтому лагранжиан скалярного поля не зависит от кручения, поэтому в случае скалярного поля, связанного с гравитацией , кручение остается без источника, а его уравнения движения подразумевают его обращение в нуль.

Когда поле Дирака связано с гравитацией с кручением, лагранжиан можно записать в следующем виде

$$\mathcal{L} = e^{\mu}_a\bar{\psi}\gamma^a (\partial_{\mu} -\frac{i}{2}\omega_{\mu}^{cd}\sigma_{cd} )\psi + e_{\mu a} K_{\alpha\beta\gamma} \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \bar{\psi}\gamma^a \gamma_5 \psi$$

($e$являются vielbeins и$\omega$, часть спиновой связи без кручения, обе они не зависят от кручения).

Вариируя по компонентам скручивания, получаем алгебраическое уравнение движения для тензора скручивания:

$$K^{\alpha\beta\gamma} = \frac{\kappa}{4}e_{\mu a} \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \bar{\psi}\gamma^a \gamma_5 \psi$$

($\kappa = 8 \pi G$). Последний член в лагранжиане имеет вид:

$$\mathcal{L_K} = K_{\alpha\beta\gamma} \sigma^{\alpha\beta\gamma}$$

Где$\sigma^{\alpha\beta\gamma}$— собственная спиновая часть нётеровского тока, соответствующая локальной лоренцевской симметрии:

$$M^{\alpha\beta\gamma} = x^{\alpha}\Theta^{\beta\gamma}-x^{\beta}\Theta^{\alpha\gamma}+\sigma^{\alpha\beta\gamma}$$

$\Theta$– тензор энергии напряжения. Этот пример показывает, что для поля Дирака источником кручения является тензор спина.

Как можно заметить, кручение аксиально связано с полем Дирака. Известно, что этот тип связи порождает аномалии. Тщательный анализ показывает, что в барионном секторе те же критерии компенсации аномалий стандартной модели приводят также к компенсации осевых аномалий за счет кручения, но не в лептонном секторе. Это одна из трудностей этой теории. Одним из возможных решений является учет вклада кручения в определение осевого тока. В отличие от калибровочного и фотонного полей, где этот вклад не является калибровочно-инвариантным, поскольку поле кручения не является калибровочным полем, такое переопределение кажется возможным. Это также согласуется с теоремой Атьи-Зингера об индексе, которая утверждает, что плотность аномалий должна быть равна классу Понтрягина, который является топологическим инвариантом,

Есть еще одна трудность, связанная с торсионной связью, связанная с тем, что торсион взаимодействует только с собственной частью полей:

В случае калибровочных полей, таких как поле Максвелла. Собственный спин не является калибровочно-инвариантным, и только сумма спина и орбитального углового момента является калибровочно-инвариантной. Таким образом, хотя минимальная связь приводит к связи кручения с собственным спином, калибровочная инвариантность теряется. В следующей недавней статье Фреснеды, Бальдиотти и Перейры рассматриваются некоторые предложения по преодолению этой проблемы.