Геометрический Ленглендс как частично определенная топологическая теория поля

Я слышал от нескольких физиков, что топологический поворот Капустина-Виттена Н знак равно 4 Ожидается, что 4-мерная теория Янга-Миллса («геометрический поворот Ленглендса») не приведет к полностью определенной топологической теории поля в том смысле, что, например, ее статистическая сумма на 4-многообразии (без края) не ожидается. существовать (но, например, его категория граничных условий, связанных с римановой поверхностью, действительно существует). Это правда? Если да, то каков физический аргумент в пользу этого (можете ли вы как-то увидеть это из интеграла по путям)? Чем он отличается от поворота Вафа-Виттена, который ведет к теории Дональдсона, и ее статистическая сумма, насколько я понимаю, хорошо определена на большинстве 4-многообразий?

Александр, возможно, вы захотите взглянуть на статью Бен-Цви и Надлера ( arxiv.org/abs/0904.1247 ). Они строят 2-1-0 часть GL-скрученного Н знак равно 4 4d SYM, компактифицированный на С 1 . Однако трехмерная часть не является четко определенной именно из-за неполной дуализуемости, о которой упоминал Урс: векторные пространства, которые вы присоединяете к двумерным многообразиям, могут быть бесконечномерными (см. стр. 15).
На самом деле мой вопрос заключался в том, существуют ли физические аргументы, которые говорят вам, «насколько определенной» будет теория.

Ответы (3)

С точки зрения интеграла по путям можно возразить, почему статистическая сумма теории KW не может быть правильно определена следующим образом.

В точке B-модели теория KW размерно сводится к B-модели для производного стека. л о с грамм ( Σ ′ ) из грамм -локальные системы на Σ ′ . B-модель для любой цели Икс ожидается, что он будет задан объемом формы естественного объема в производном пространстве отображения из стека де Рама исходной кривой. Σ к Икс .

Собирая это вместе, мы видим, что статистическая сумма KW на комплексной поверхности С предполагается, что это "объем" производного стека л о с грамм ( С ) (по отношению к объемной форме, которая возникает в результате интегрирования массивных мод).

Теперь мы видим проблему: производный стек л о с грамм ( С ) имеет касательный комплекс в aa грамм -локальная система п заданные когомологиями де Рама С с коэффициентами в присоединенной локальной системе алгебр Ли со сдвигом на единицу. Это в когомологических степенях − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 .

Другими словами: области теории включают в себя такие вещи, как ЧАС 3 ( С , грамм п ) в когомологической степени 2 . Потому что в когомологической степени 2 , мы можем думать о нем как о четном поле — и тогда это какое-то некомпактное направление, так что мы не ожидаем сходимости какого-либо интеграла.

(Кстати, я обсуждаю эту интерпретацию теории КВ в своей статье http://www.math.northwestern.edu/~costello/sullivan.pdf )

Конечно, это пример упомянутого Энди явления (некомпактность в полевом пространстве). Если вы уменьшаете размерность, вы можете увидеть это с категориальной точки зрения, упомянутой Урсом: B-модель для л о с грамм ( Σ ) построен из связных пучков на л о с грамм ( Σ ) , но это не полностью дуализуемая категория. Он кажется (?) гладким, но не компактным. Это означает, что модель B для л о с грамм ( Σ ) определена лишь частично: операции определены для поверхностей хотя бы с одной исходящей границей.
Большое спасибо - это очень интересно. Однако у меня есть два вопроса: во-первых, можете ли вы привести аналогичный аргумент в пользу теории Дональдсона (чтобы понять, почему ее статистическая сумма хорошо определена для большинства 4-многообразий). Во-вторых, я не понял последний пункт вашего комментария - кажется более или менее возможным привязать категорию к Σ без края (грубо говоря, производная категория квазикогерентных пучков на л о с грамм ( Σ ) - это должно быть тщательно определено, но в контексте геометрического Ленглендса в настоящее время известно, что такое правильная категория). почему это не противоречит вашему аргументу?
Что касается второго пункта: я очень далек от геометрического ленглендса, поэтому надеюсь, что я не ошибаюсь. Но я предполагаю, что категория, которую вы прикрепляете к Loc_G (Sigma), не является «правильной». Надлежащие средства Ром ⁡ ( Е , Ф ) имеет конечную полную размерность, где Е , Ф являются совершенными комплексами (т. е. компактными объектами категории). Надлежащее является необходимым условием для того, чтобы категория давала полный TFT. Подробнее о гладких + собственных категориях можно узнать в статье Лурье и в работе Концевича-Сойбельмана.
Единственное, что я действительно понимаю в теории Дональдсона, это то, как исказить Н знак равно 2 калибровочной теории, чтобы получить голоморфную версию теории Дональдсона, которая должна учитывать голоморфные расслоения. (Конечно, это должно быть эквивалентно.) Здесь вы ожидаете, что функция распределения будет своего рода объемом Т [ − 1 ] Б ты н грамм ( С ) , куда С представляет собой сложную поверхность. Так как для стабильных расслоений Б ты н грамм ( С ) имеет касательный комплекс в градусах 0 , 1 (деформации + препятствия, без автоморфизмов) Т [ − 1 ] Б ты н грамм ( С ) имеет касательный комплекс в градусах − 1 , 0 , 1 , что хорошо.

В «полностью определенной» ТКТП пространства состояний обязательно конечномерны. Это следует просто из того факта, что корреляторы, приписываемые шапочке и чашечному кобордизму («двухточечные функции»), наделяют пространство состояний структурой дуализуемого объекта в соответствующей моноидальной категории векторных пространств, которые в точности конечномерные объекты.

Точно так же в «полностью заданной» расширенной n-мерной ТКТП («полностью локальной») « n-пространство состояний», назначенное точке, является полностью дуализируемым объектом .

Но есть ТКТП с неконечными пространствами состояний и расширенные ТКТП с не полностью дуализируемыми н -пространство состояний. В случае d=2 они (несколько вводящие в заблуждение) известны как TCFT . Известными примерами являются модель А и модель В. И 4d ТКТП Капустина-Виттена сводится к ним в некоторых компактификациях (см., например , обзор Капустина на стр. 17-18).

Так как же это может быть? Ответ состоит в том, что «TCFT» — это TQFT, которая как представление кобордизма определяется только в подкатегории кобордизмов, называемых «некомпактными» или «с положительной границей». Грубо говоря, это просто подкатегория, полученная отбрасыванием чашечного (или шапочного) кобордизма. Это устраняет из TQFT требование иметь дуализируемые пространства состояний, но в остальном сохраняет всю структуру TQFT.

Для расширенной такой TQFT («полностью локальной») 2-пространства состояний (те, которые назначены точке) по-прежнему имеют много хорошей структуры, даже не будучи полностью дуализируемыми. Одни говорят, что это объекты Калаби-Яу .

Подробное обсуждение всего этого находится в разделе 4.2 книги Лурье « О классификации ТПТ».

Спасибо. Я более или менее знаком с работой Лурье. Мой вопрос заключался в том, насколько это применимо к теории Капустина-Виттена и, в частности, почему получается, что при каком-то другом повороте теория оказывается "более определенной" (или я ошибаюсь?)
Относительно того, насколько это применимо к теории КВ: как я пытался указать, по крайней мере, мы знаем, что она имеет компактификации до 2d, которые в определенных частях пространства параметров воспроизводят А-модель и В-модель. Для этих 2d TCFT мы точно знаем, что происходит (через раздел Лурье 4.2). Поскольку это простые частные случаи, индуцированные теорией КВ, кажется, следует, что теория КВ «по крайней мере так же не полностью определена», как это. Не уверен, поможет ли это, но это утверждение, которое я вижу до сих пор.
Спасибо. На самом деле, изначально я хотел знать, есть ли способ предсказать, насколько хорошо будет определена данная TQFT, глядя на интеграл по путям. Но то, что вы написали, тоже очень полезно!
Когда вы говорите, что модели А и В имеют не конечное (мерное) пространство состояний, вы имеете в виду случай некомпактной мишени? Я бы наивно думал, что модель А с компактной мишенью Икс имеет конечномерное пространство состояний (а именно квантовые когомологии Икс ).
Нет, я имею в виду «2-пространство» состояний, A-oo алгебру струнных состояний, приписанных к точке. Это не полностью дуализируемый объект для A- и B-моделей.
Урс - в моем понимании TCFT и некомпактная (или положительная граница) теория поля - это две ортогональные проблемы. В частности, A- или B-модель для гладкого компактного симплектического многообразия / многообразия являются полными 2d TFT в производном смысле (он же TCFT) , а то, что они присоединяют к точке, полностью дуализируемо. В данном примере проблема заключается (как объяснили Кевин и Энди) в некомпактности цели соответствующей B-модели.

Я думаю, что теория Дональдсона также не является, строго говоря, 4d TFT — в конце концов, есть некоторые 4-многообразия, для которых она имеет метрическую зависимость. Разве этого недостаточно, чтобы нарушить букву закона?

В этом случае обычно говорят, что причиной сбоя является некоторая некомпактность в пространстве полей (это утверждение можно найти, например, в нижней части страницы 5 hep-th/9709193 ). Я полагаю, что аналогичная проблема может возникнуть с поворотом Капустина-Виттена N = 4 супер Янга-Миллса.

Спасибо. На самом деле я был бы рад понять закономерность: есть ли способ предсказать, насколько хорошо будет определена данная TQFT, глядя на «пространство полей» и интеграл по путям?
Я не вполне компетентен для ответа (и я вовсе не уверен, что проблема, которую я упоминаю, та же самая, которую имели в виду ваши первоначальные собеседники), но вот частичное замечание. Глядя на hep-th/9709193, я понимаю, что релевантная некомпактность - это некомпактность пространства суперсимметричных (или «BRST-инвариантных») конфигураций полей. Если это так, то потенциальная проблема возникает всякий раз, когда уравнения, определяющие конфигурации суперсимметричного поля, определяют некомпактное пространство модулей.
Геометрический Ленглендс как частично определенная топологическая теория поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v