Во вводной части статьи Гайотто ( https://arxiv.org/pdf/1712.07950.pdf ) он говорит: «В контексте топологической теории поля гомотопически-теоретические идеи также приводят к классификации обратимых фаз с точки зрения кобордизма. спектры». С другой стороны, хорошо известно, что мы можем построить (2+1)d ТКТП по сумме состояний Тураева-Виро из унитарной термоядерной категории. Кобордизм и категория унитарного слияния кажутся очень разными объектами.
Мой вопрос: как эти два подхода связаны друг с другом? Я не математик и не специалист в этой области. Любое простое описание/объяснение будет очень полезно для меня.
Суммы состояний Тураева-Виро предназначены для построения необратимых 3d TQFT, поскольку нет нетривиальных обратимых без добавления дополнительной симметрии. Вы можете сделать это, и это приводит к G-эквивариантному понятию категории слияния. Можно даже получить нетривиальное G-эквивариантное расширение тривиальной категории слияния, что означает, что F-символы (ассоциаторы) становятся групповым 3-коциклом. Это дает связь между категориями слияния и групповыми когомологиями. Здесь есть хорошая дискуссия https://arxiv.org/abs/1410.4540 .
Насколько я знаю, нет прямого распространения этого на теории кобордизмов, но вы можете записать группы кобордизмов как групповые когомологии, подобные объектам, и сделать то же самое. В основном это был подход этих статей: https://arxiv.org/abs/1505.05856 и https://arxiv.org/abs/1701.08264 . Там группы кобордизмов связаны с определенными категориями слияния, которые «бозонизируют» фермионные фазы СПД.
Обратите внимание, что, хотя кажется возможным классифицировать обратимые ТКТП, классифицировать что-то вроде всех трехмерных ТКТП кажется даже сложнее, чем классифицировать все конечные группы. Они гораздо более дикие звери. Есть действительно хорошая статья о топологической силе унитарной TQFT: https://arxiv.org/abs/math/0503054.
пс. почему бы не попросить Антона объяснить? :П
Ю-Ан Чен
Райан Торнгрен
Райан Торнгрен