Нулевые режимы ~ режимы с нулевым собственным значением ~ режимы с нулевой энергией?

Было несколько вопросов Phys.SE на тему нулевых мод . Такие, как, например,

• нулевые моды ( Что такое нулевые моды? , Могут ли массивные фермионы иметь нулевые моды? ),

• Majorana -zero-modes ( нулевая мода Майораны в квантовой теории поля ),

• path-integral-with-zero-energy-modes ( контурный интеграл с модами нулевой энергии ) и т. д.

Здесь я хотел бы дополнительно понять , могут ли «Нулевые Моды» иметь физически разные интерпретации и каковы их последствия , или насколько эти проблемы действительно одинаковы, связаны или различны. Я могу придумать как минимум 3 актуальных вопроса:

(1) Моды нулевых собственных значений

По определению, Zero Modes означает режимы с нулевым собственным значением, которые являются режимами$\Psi_j$с нулевым собственным значением для некоторого оператора$O$. Сказать,

$$O \Psi_j = \lambda_j \Psi_j,$$ с некоторыми $\lambda_a=0$для некоторых $a$.

Это может быть оператор Дирака некоторых фермионных полей, таких как

$$(i\gamma^\mu D^\mu(A,\phi)-m)\Psi_j = \lambda_j \Psi_j$$ здесь может быть нетривиальный калибровочный профиль $A$и солитонный профиль $\phi$в пространстве-времени. Если нулевая мода существует, то с $\lambda_a=0$для некоторых $a$. Однако в этом случае, насколько я понимаю, энергия нулевых мод может быть не нулевой. Эта нулевая мода нетривиально вносит вклад в интеграл по путям как $$\int [D\Psi][D\bar{\Psi}] e^{iS[\Psi]}=\int [D\Psi][D\bar{\Psi}] e^{i\bar{\Psi}(i\gamma^\mu D^\mu(A,\phi)-m)\Psi } =\det(i\gamma^\mu D^\mu(A,\phi)-m)=\prod_j \lambda_j$$ В этом случае, если существует $\lambda_a=0$, то нам нужно быть очень осторожными в отношении возможной дальнодействующей корреляции $\Psi_a$, видно из статистической суммы интеграла пути ( какие-либо комментарии по этому поводу? ).

(2) Режимы нулевой энергии

Если сказал оператор$O$это именно гамильтониан$H$, т.е.$\lambda_j$становятся собственными значениями энергии, тогда нулевые моды становятся модами с нулевой энергией:

$$H \Psi_j= \lambda_j \Psi_j$$ если существует какой-то $\lambda_a=0$.

(3) Нулевые режимы$\phi_0$и режимы сопряженной импульсной намотки$P_{\phi}$

В теории киральных бозонов или теории гетеротических струн бозонное поле$\Phi(x)$

$$\Phi(x) ={\phi_{0}}+ P_{\phi} \frac{2\pi}{L}x+i \sum_{n\neq 0} \frac{1}{n} \alpha_{n} e^{-in x \frac{2\pi}{L}}$$ содержит нулевую моду $\phi_0$.

---

Итак: Являются ли проблемы (1), (2) и (3) одинаковыми, связанными или разными физическими проблемами? Если они одинаковые, то почему они одинаковые? Если они разные, то чем они отличаются?

Мне также нравится знать, когда люди рассматривают различные контексты, с какими проблемами они действительно имеют дело: например, модель Джекива-Ребби , модель Джекива-Росси и текущие вычисления Голдстоуна-Вильчека , индуцированные квантовым числом в солитонном профиле, майорановские режимы нулевой энергии , такие как модель Фу-Кейна ( arXiv:0707.1692 ), полуквантовые вихри Иванова в p-сверхпроводниках ( arXiv:cond-mat/0005069 ) или проблема с нулевыми модами фермионов в инстантоне КХД , как обсуждалось в книге Сидни Коулмана ` "Аспекты симметрии".

пс. поскольку этот вопрос может быть слишком широким, полностью приветствуется, если кто-либо пытается сначала частично ответить на вопрос, а позже добавить больше мыслей.