Групповые когомологии и топологические теории поля

Во-первых, полная статья здесь:

http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=807BE383780883ACB4CAB8BD48E8C90B?doi=10.1.1.128.1806&rep=rep1&type=pdf

Во-вторых, статья имеет 150 цитирований. См. всю эту информацию на INSPIRE (обновлено SPIRES):

http://inspirebeta.net/record/278923?ln=en

В-третьих, текст между 3.4 и 3.5 выглядит абсолютно понятным. В этот момент они могут определить$n\cdot S$по модулю 1, что эквивалентно определению действия$S$по модулю$1/n$. Цель состоит в том, чтобы определить действие$S$сам по модулю 1; Я предполагаю, что их нормализация интеграла по путям должна иметь$\exp(2\pi i S)$с нетипичным$2\pi$фактор. Да, подтверждено, это уравнение 1.2.

Если вы сдвинете действие на 1 - или$2\pi$в обычных соглашениях - не меняет подынтегральную функцию интеграла по траекториям; это не меняет физику. Так что в целом, если можно сказать, что действие$S$равно$S_0+n$(или$2\pi n$обычно) для некоторого целого числа$n$, он знает все о физике нужного ему действия; сдвиг его на целое число ничего не меняет. Вот почему, на самом деле, действие часто определяется только по модулю 1 (вплоть до добавления целого числа, кратного 1).

Так что достаточно знать «дробную часть» действия; целая часть значения не имеет. Однако в точке уравнения 3.4 их неопределенность больше: они знают только действие по модулю$1/n$. Например, если действие$9.37$по модулю$1/2$, это означает, что дробная часть может быть$0.37$но может быть и$0.87$. Эти два значения$S$изменило бы физику, потому что вклад конфигурации в интеграл по путям меняет знак, если изменить$S$к$1/2$(в обычных соглашениях,$\pi$).

Если только знать$S$по модулю$1/n$, и если он думает, что это$S_0$- в этом случае$F\wedge F$выражение - это означает, что реальное действие

$$S = S_0 + K/n$$ и целое число $K$должен быть определен. Потому что изменение действия $S$на целое число не меняет физику, неважно, если $K$в приведенном выше уравнении изменяется на кратное $n$. Итак, цель состоит в том, чтобы найти правильный $K$определить действие - и $K$неизвестное целое число, определенное (или релевантное) по модулю $n$, т.е. до добавления нерелевантного и произвольного кратного $n$.

В какой-то момент они находят правильный ответ, и это

$$K = -\langle \gamma^*(\omega),B\rangle$$ что устраняет двусмысленность $S$- недостающие знания ли $S$должен быть оригинал $S$или больше или меньше на конкретное кратное $1/n$. Если вы не понимаете приведенный выше текст, извините, у меня нет возможности выяснить, почему, поэтому я не могу дать вам лучший ответ, если вы не улучшите свой вопрос.

Дейкграаф и Виттен использовали$\mathcal H^3[G,U(1)]$определить теорию CS для калибровочной группы$G$. В последнее время групповые когомологии нашли применение в физике конденсированного состояния. Он может классифицировать так называемые «топологические фазы с защитой симметрии» взаимодействующих бозонов:

The $d$-мерная симметрия защищена топологическими фазами взаимодействующих бозонов с группой симметрии$G$имеет подкласс, который может быть однозначно помечен элементами в$\mathcal H^{d+1}[G,U(1)]$. ($d$это размеры помещения.)

(Топологические фазы с защищенной симметрией предназначены для взаимодействующих систем, которые подобны топологическим изоляторам невзаимодействующих фермионов. Они представляют собой запутанные состояния ближнего действия с симметрией.)

Целая часть этого условия является условием коцикла, которое является мерой числа витков для калибровочного преобразования. Теория Черна-Саймонса (ЧС) представляет собой$2~+~1$размерная квантовая теория поля для нединамического калибровочного поля$A_\mu$. Действие для такой теории

$$S_{CS}~=~\frac{k}{4\pi}\int A\wedge dA~+~\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A$$ Где $A_\mu$является компонентом одной формы ${\underline A}~=~A_\mu{\underline e}^\mu$для неабелева калибровочного поля, преобразующегося в присоединенном представлении калибровочной группы $U(N)$.

Чтобы теория имела смысл, она должна хорошо вести себя при калибровочных преобразованиях. Хотя относительно легко показать инвариантность в абелевом случае, в неабелевом случае дело обстоит несколько сложнее. В этом случае

$$S_{CS}~\rightarrow~S_{CS}~+~2\pi kN$$ Где $N$- целое число для номера обмотки выполненного калибровочного преобразования. Квантование теории с использованием формализма интеграла по путям Фейнмана требует, чтобы $e^{iS_{CS}}$быть калибровочно инвариантным. Это приводит к тому, что $k~\in~{\mathbb Z}$. Целое число $k$это уровень Черна-Саймонса $A_\mu$. Обычно с каждой калибровочной группой в теории Черна-Саймонса связан уровень.

Эта форма теории Черна-Саймонса не является суперсимметричной. Однако можно сделать калибровочное поле$A_\mu$компонент${\cal N}~=~2$векторный мультиплет. Это обязательно вводит два скалярных поля$A_\mu$ $F$, вспомогательное поле и двухкомпонентный спинор Дирака$\psi$к теории в суперполе

$$\Psi~=~\psi~+~\theta \sigma^\mu A_\mu~+~H.C.~+~{\bar\theta}\theta F.$$ Можно расширить эту теорию, чтобы допустить полное ${\cal N}~=~8$SUSY (16 наддувов).