Геометрическое определение внутреннего продукта Лоренца

Метрический тензор Минковского $\mathbf \eta$принимает два четырехвектора в качестве аргументов и производит действительное число, внутреннее произведение двух векторов:

где одна форма $\tilde u$дан кем-то

Геометрически это изображается как подсчет количества поверхностей одной формы.$\tilde u$«проколот» вектором$\vec v$.

Кредит изображения

Да и нет.

Во-первых, проекция — это операция, которая берет вектор и дает другой вектор, который живет в подпространстве. Проецирование не дает длину (хотя можно говорить о длине проекции s).

И иногда люди говорят о разных видах проекций, но первая (и единственная) проекция, которую многие изучают, — это ортогональная проекция, поэтому некоторые люди думают, что проекция — единственная, и вам нужно быть начеку, поскольку люди могут подразумевать под этим словом разные вещи. проекция. Но проекция всегда берет вектор и дает вектор.

Взятие скалярного произведения (или билинейной формы) берет два вектора и дает скаляр. Один из способов это говорить о длине проекции одного o на другой, но тогда еще нужен знак.

Во многих ситуациях ничего не меняется, вы можете представить себе подпространство, на которое вы проецируете, и представить его ортогональное дополнение (если ваша проекция не ортогональна, вы представляете какое-то более общее дополнение), затем вы выражаете вектор, который нужно спроецировать, как сумму двух векторов, один из которых каждое из двух подпространств, а затем проекция выбирает этот вектор из правильного пространства.

Но это не работает, если объект, на который вы проецируете, похож на свет. В частности, гиперплоскость векторов, метрически ортогональных светоподобному вектору, содержит светоподобный вектор.

Если вы попытаетесь спроецировать светоподобный вектор на себя, он окажется в пространстве, охватываемом вектором, а также в пространстве вещей, ортогональных вектору. Он ортогонален самому себе.

Таким образом, вы можете проецировать, если у вас есть дополнительное пространство, но набор, если ортогональный вектор не дополняет светоподобный вектор. Таким образом, ортогональные проекции терпят неудачу.

Поскольку внутренний продукт является симметрией, вы можете проецировать на другой, если они оба не светоподобны. Или, поскольку внутренний продукт является билинейным, вы можете определить его стандартным способом с ортогональными проекциями на времениподобные и пространственноподобные векторы, а затем использовать их алгебраически, чтобы получить скалярный продукт для всего.

Существуют также другие подходы, в которых внутренний продукт может быть просто присущим векторам путем создания геометрического произведения в пространстве линейных комбинаций произведений векторов, которое имеет ассоциативное, линейное и дистрибутивное умножение и переводит каждый вектор в его метрический квадрат. при умножении на себя. И тогда скалярный продукт появляется как симметричное произведение векторов.

В этом случае геометрическая импликация выпадает автоматически, потому что произведение ортогональных векторов естественным образом представляет подпространство, которое они охватывают, а произведение вектора на подпространство дает сумму большего пространства, которое они охватывают (часть вектора, линейно независимая от пространства, дает это) и часть, натянутая на пространство, образует подпространство этого подпространства, которое является ортогональным дополнением этой проекции.

Да, ты можешь это сделать. В частности, если вы рассматриваете линейную функцию, которая переводит два вектора в действительные числа (или любое другое поле, о котором вы заботитесь), и далее настаиваете на том, что эта функция симметрична и что ее представление в любом базисе обратимо (поэтому для любого базиса$\{\vec{e}_i\}$, функция может быть представлена ​​матрицей$g^{ij}$, и эта матрица должна быть невырожденной), то несложно показать, что такая функция обладает большинством свойств метрики. Свойство, которым он может не обладать, — положительная/отрицательная определенность.

Тогда существует хорошая теорема (которую легко доказать) о том, что вы всегда можете найти базис для векторного пространства, такой что компоненты этих функций имеют вид$\textrm{diag}(1, \ldots, 1, -1, \ldots, -1)$. Если все знаки одинаковые (то есть все$1$с или все$-1$s), то это обычная евклидова метрика. Но что более интересно, существует не так уж много других возможных видов (псевдо)метрик : вы можете охарактеризовать возможности, суммируя диагональ в любом базисе, где она имеет вышеуказанную форму, и в$4$размеры единственные возможности$4$,$2$,$0$и$-2$(такой же как$2$),$-4$(такой же как$4$).

Метрика Минковского – это$2$(или$-2$) случай.

Обратите внимание, что хотя я упомянул здесь базы, ничто из этого не зависит от базы.