Как преобразование Лоренца влияет на метрический тензор?

Question

Как преобразование Лоренца влияет на метрический тензор?

пользователь 215721

После выполнения преобразования Лоренца ортогональные координаты станут скошенными, как на следующем рисунке:

введите описание изображения здесь

и в такой системе координат, согласно этой статье в Википедии, метрика будет иметь недиагональные ненулевые элементы:

г_{я Дж} "=" е_{я} . е_{Дж}

$g_{ij}=\mathbf{e}_i.\mathbf{e}_j$

а не плоское пространство-время:

г "=" [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

В чем проблема?

пользователь4552

Преобразование Лоренца — это просто изменение координат, и хотя оно оставляет компоненты метрики неизменными, на самом деле это не проблема, если изменение координат не делает этого. Все, что действительно имеет значение, — это сигнатура метрики (знаки ее собственных значений), и она гарантированно не изменится (при условии, что преобразование невырожденное) из-за закона инерции Сильвестра. Например, нет ничего плохого в преобразовании, при котором вы удваиваете все координаты, так что

g = diag (1 / 4, - 1 / 4, - 1 / 4, - 1 / 4)

$g=\operatorname{diag}(1/4,-1/4,-1/4,-1/4)$ .

jw_

@ user4552 Это действительно важно. (1) Не «случается» оставлять компоненты неизменными, а суждено оставить неизменными, как говорят ответы. (2) Если он действительно не оставит компоненты инвариантными (а этому суждено никогда не случиться), то понятие "метрический тензор" вообще не будет обсуждаться в физике, по той причине, что "метрический тензор" обсуждается в физике заключается в том, что он оставляет компоненты инвариантными при специфическом преобразовании, которое происходит в SR — преобразовании Лоренца.

Ответы (6)

Как преобразование Лоренца влияет на метрический тензор?

Преобразование Лоренца — это просто изменение координат, и хотя оно оставляет компоненты метрики неизменными, на самом деле это не проблема, если изменение координат не делает этого. Все, что действительно имеет значение, — это сигнатура метрики (знаки ее собственных значений), и она гарантированно не изменится (при условии, что преобразование невырожденное) из-за закона инерции Сильвестра. Например, нет ничего плохого в преобразовании, при котором вы удваиваете все координаты, так что $g=\operatorname{diag}(1/4,-1/4,-1/4,-1/4)$ .
@ user4552 Это действительно важно. (1) Не «случается» оставлять компоненты неизменными, а суждено оставить неизменными, как говорят ответы. (2) Если он действительно не оставит компоненты инвариантными (а этому суждено никогда не случиться), то понятие "метрический тензор" вообще не будет обсуждаться в физике, по той причине, что "метрический тензор" обсуждается в физике заключается в том, что он оставляет компоненты инвариантными при специфическом преобразовании, которое происходит в SR — преобразовании Лоренца.

Виберт · Answer 1

Вы должны быть очень осторожны. $\mathbf{e}_i$ являются векторами, поэтому они имеют индекс Лоренца: $\mathbf{e}_i^\mu.$ Когда вы пишете

е_{я} \cdot е_{Дж}

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$ ты на самом деле имеешь в виду

г_{мю ν} е_{я}^{мю} е_{Дж}^{ν}

$g_{\mu \nu} \mathbf{e}_i^\mu \mathbf{e}_j^\nu$ где

g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}$ — плоская метрика Минковского ( не евклидова метрика). Зная это, легко проверить, сохраняется ли плоская метрика при преобразованиях Лоренца.

Редактировать: в теории относительности физики называют эти объекты каркасом или вирбейном . Может помочь вам найти другие ресурсы, если вы хотите.

Не совсем. Когда вы пишете $g_{\mu \nu} \mathbf{e}_i^\mu \mathbf{e}_j^\nu$ это сокращение от $\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$ , и что (структура внутреннего продукта, в данном случае неопределенная по Минковскому) является фундаментальным объектом.
Да, но это не то, о чем спрашивает ОП. Он/она хочет знать, почему при вычислении внутреннего продукта получается противоречивый результат. $\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$ наивно (в евклидовом смысле). Это более фундаментальная точка зрения, но вам нужно присвоить «правильное» значение этому внутреннему продукту.
Тогда проблема в том, что вам нужно переосмыслить то, что вы подразумеваете под внутренним продуктом и ортогональностью. Версия компонента является вторичной конструкцией.

Джерри Ширмер · Answer 2

Vibert, конечно, совершенно прав. Я собираюсь предложить немного более геометрическую версию того, что он говорит. Метрический тензор Минковского определяется выражением:

г с^{2} "=" г_{а б} г {Икс}^{а} г {Икс}^{б} "=" - г т^{2} + г {Икс}^{2} + г у^{2} + г г^{2}

$ds^{2} = g_{ab}dx^{a}dx^{b} = -dt^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

Теперь, зная, что $v = \tanh\phi$ , достаточно легко показать, что преобразования Лоренца задаются формулой:

\begin{aligned} т^{'} & "=" т чушь ф - Икс грех ф \\ {Икс}^{'} & "=" Икс чушь ф - т грех ф \end{aligned}

$\begin{align} t' &= t \cosh \phi - x \sinh\phi\\ x' &= x \cosh \phi - t \sinh\phi \end{align}$

Взяв дифференциал, решив $dt$ и $dx$ и подставляя в элемент строки выше, мы находим:

г с^{' 2} "=" - ({чушь}^{2} ф - {грех}^{2} ф) г т^{' 2} + ({чушь}^{2} ф - {грех}^{2} ф) г {Икс}^{' 2} + г у^{2} + г г^{2}

$ds'^{2} = -\left(\cosh^{2}\phi - \sinh^{2}\phi\right)dt'^{2} + \left(\cosh^{2}\phi - \sinh^{2}\phi\right)dx'^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

Поскольку мы знаем основное тригонометрическое тождество $\cosh^{2} - \sinh^{2} = 1$ , мы находим, что

г с^{' 2} "=" г_{а б}^{'} г {Икс}^{' а} г {Икс}^{' б} "=" - г т^{' 2} + г {Икс}^{' 2} + г у^{2} + г г^{2}

$ds'^{2} = g_{ab}'dx'^{a}dx'^{b} = -dt'^{2} + dx'^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

и ясно, что компоненты метрического тензора совпадают.

РЕДАКТИРОВАТЬ: чтобы увидеть, как это становится обычным преобразованием Лоренца:

\begin{aligned} танх ф & "=" в \\ \frac{грех ф}{чушь ф} & "=" в \\ {грех}^{2} ф & "=" в^{2} {чушь}^{2} ф \\ {чушь}^{2} ф - 1 & "=" в^{2} {чушь}^{2} ф \\ {чушь}^{2} ф (1 - в^{2}) & "=" 1 \\ чушь ф & "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в^{2}}} \\ грех ф & "=" \sqrt{с о с {час}^{2} ф - 1} \\ "=" \sqrt{\frac{1}{1 - в^{2}} - 1} \\ "=" \sqrt{\frac{1 - (1 - в^{2})}{1 - в^{2}}} \\ "=" \frac{в}{\sqrt{1 - в^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \tanh\phi &= v\\ \frac{\sinh\phi}{\cosh\phi} & = v\\ \sinh^{2}\phi &= v^{2} \cosh^{2}\phi\\ \cosh^{2}\phi -1 &= v^{2}\cosh^{2}\phi\\ \cosh^{2}\phi\left(1 - v^{2}\right) &= 1\\ \cosh\phi &= \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}\\ \sinh\phi &= \sqrt{cosh^{2}\phi -1}\\ &= \sqrt{\frac{1}{1-v^{2}} - 1}\\ &= \sqrt{\frac{1 - (1-v^{2}) }{1-v^{2}}}\\ &= \frac{v}{\sqrt{1-v^{2}}} \end{align}$

Вы можете выяснить остальное

Тримок · Answer 3

Закон преобразования для ковариантного вектора $e$ (как базисный вектор):

\begin{matrix} (1) & е_{я} "=" \frac{\partial {Икс}^{мю}}{\partial {Икс}^{я}} е_{мю} \end{matrix}

$e_i = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^i} e_\mu \tag{1}$

Для 2-ковариантного тензора типа метрики $g$ , закон преобразования:

\begin{matrix} (2) & г_{я Дж} "=" \frac{\partial {Икс}^{мю}}{\partial {Икс}^{я}} \frac{\partial {Икс}^{ν}}{\partial {Икс}^{Дж}} г_{мю ν} \end{matrix}

$g_{ij} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^i} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^j} g_{\mu\nu} \tag{2}$

Это просто означает, что $g_{ij}$ трансформируется как $e_i e_j$

Отношения между $e_i^\mu$ а частные производные просто:

\begin{matrix} (3) & е_{я}^{мю} "=" \frac{\partial {Икс}^{мю}}{\partial {Икс}^{я}} \end{matrix}

$e_i^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^i}\tag{3}$ Итак, вы можете написать:

\begin{matrix} (4) & е_{я} "=" е_{я}^{мю} е_{мю}, г_{я Дж} "=" е_{я}^{мю} е_{Дж}^{ν} г_{мю ν} \end{matrix}

$e_i = e_i^\mu e_\mu, \qquad g_{ij} = e_i^\mu e_j^\nu g_{\mu\nu}\tag{4}$

Так, $e_i^\mu$ является компонентом нового базисного вектора $e_i$ , в старом базисном векторе $e_\mu$

плиточник · Answer 4

Проблема исходит из евклидова представления ортогональности двух векторов в пространстве Минковского: скалярное произведение двух векторов x, y с координатами $x_{i},y_{i}$ (в 2D) определяется в смысле геометрии Минковского формулой $xy=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$ .

Два вектора перпендикулярны друг другу по Минковскому, если $xy=x_{1}y_{1}-x_{2 }y_{2}=0$ , в евклидовом смысле это равенство переводит симметрию направлений двух векторов относительно биссектрисы координатных углов. В частности, два вектора, лежащие на одной биссектрисе, перпендикулярны друг другу в геометрии Минковского.

Ссылка: Высшая геометрия Н.Ефимова.

Эндрю Стин · Answer 5

Я думаю, что схема может ввести вас в заблуждение. На этой диаграмме ничего "кривого" не видно. $x'$ и $ct'$ оси здесь ортогональны в пространственно-временном смысле. На диаграмме (при стандартном выборе масштабов) два 4-вектора ортогональны, если прямая, делящая пополам угол между ними, проходит под углом 45 градусов.

Кислый · Answer 6

В системе покоя оси x и ct ортогональны... x'-ct' ортогональны наблюдателю, который движется вместе с загрунтованной системой отсчета (отсчет покоя загрунтованных наблюдателей)... но относительно одного кадра другой кадр делает не обладают ортогональностью ... фактически инвариантностью (см. Доказательство того, что метрический тензор Минковского инвариантен относительно преобразований Лоренца) метрического тензора диаг. (1,-1,-1,-1) оправдано с первой точки зрения ... с более поздней точки зрения, это все равно, что задавать новые компоненты (штрихованные) метрического тензора по старому базису, и там вы получаете только диагональный член. ...все это связано с иллюзией рисования: попытка поместить координату «времени» в вашу «бумагу», где подсознательно мы предполагаем пространственное поведение времени (в специальной теории относительности все смешивается, но не на одной основе; см. +; - оба с точки зрения метрики): такая мысль пришла мне в голову, когда я увидел письменные заметки рядом с фигурой Гольдштейна (кл. мех.; соответствующая глава)

Боюсь, на самом деле это не относится к заданному вопросу.

Как преобразование Лоренца влияет на метрический тензор?

пользователь 215721

пользователь4552

jw_

Ответы (6)

Виберт

Эмилио Писанти

Виберт

Эмилио Писанти

Джерри Ширмер

Тримок

плиточник

плиточник

Эндрю Стин

Кислый

Эмилио Писанти

Почему необходимо, чтобы разные наблюдатели согласились со значением пространственно-временного интервала ds2ds2ds^2?

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Докажите, что y=y',z=z'y=y',z=z'y=y',z=z' в преобразовании Лоренца

Чистый импульс Лоренца; транспонировать ≠≠\neq наоборот?

Однородность пространства подразумевает линейность преобразований Лоренца

Являются ли преобразования Лоренца линейными преобразованиями? [дубликат]

Вывод преобразования Лоренца

Гиперболическое вращение пространства-времени и преобразование Лоренца

Как вывести пространственно-временной интервал из преобразования Лоренца?

Проблема вывода преобразования Лоренца из однородности и изотропии пространства-времени и принципа относительности