Векторы и скалярное произведение с использованием метрического тензора - преобразование координат

а) Да, это уравнение справедливо, даже когда мы находимся в системе координат, в которой метрика не является метрикой Минковского. На самом деле, поскольку скалярное произведение двух векторов является скаляром (и, следовательно, величиной, инвариантной к координатам ), вы получите точно такое же значение в другой системе координат.

б) Здесь нужно быть осторожным, пространство Минковского можно трактовать как$\Bbb R^4$оснащен внутренним продуктом (что делает его векторным пространством), но если вы хотите говорить о векторах в разных точках пространства Минковского, вам нужно рассматривать его как многообразие . На многообразии каждая точка имеет касательное пространство , имеющее структуру векторного пространства, что позволяет с полным основанием говорить о векторах, не находящихся «в начале координат» или «в одной и той же точке».

Даже здесь мы снова должны быть осторожны, потому что нам не обязательно разрешается сравнивать векторы в разных касательных пространствах, если мы работаем, скажем, в сферических координатах (или если наше пространство-время имеет кривизну).

в) Скалярное произведение инвариантно относительно преобразований координат.

г), д), е) Эти вопросы опять относятся к тому, что мы говорим о пространстве Минковского как о многообразии , а не только как о векторном пространстве (для которого не определено понятие наличия двух векторов в двух разных точках). Кроме того, как я уже сказал выше, вы не всегда можете сравнивать векторы, живущие в разных касательных пространствах, только с многообразием, для этого требуется дополнительная структура, называемая соединением . См. также более известное в физике понятие ковариантной производной .

Как объяснил Чарли, один из способов рассматривать пространство-время Минковского — это многообразие, что и происходит, когда он вычисляет метрические компоненты как функцию координат или когда кто-то использует формулу преобразования

Другой способ - рассматривать его как аффинное пространство , что вы пытаетесь сделать в своем вопросе. Аффинное пространство — это набор вместе с сопутствующим векторным пространством и операцией, которая принимает точку, вектор и создает другую точку:

Однако смена координат здесь роли не играет. Вектор полностью определяется точками на его конце и в конце. Координаты нигде не фигурируют в этом абстрактном определении.

Проблема возникает, когда начинают рассматривать точки с помощью координат. Операция в декартовых координатах достаточно проста. Если вектор имеет определенные компоненты в базисе, связанные с заданными декартовыми координатами, то новая точка просто задается путем добавления компонентов исходной точки к компонентам вектора. Однако в криволинейных координатах правило не так просто и прямолинейно.

Во-первых, с этими новыми координатами не связан векторный базис. На интуитивном уровне это имеет смысл, поскольку криволинейные координаты меняют свое направление и «скорость», и поэтому вы не можете связать с ними только одну стрелку. Таким образом, чтобы записать компонентную версию уравнения$P_1+\vec{v}=P_2$, вы даже не знаете, как решить, какие базисные векторы использовать для получения компонентов вектора$\vec{v}$. Аффинное пространство просто говорит вам забыть о криволинейных координатах и ​​работать с декартовыми координатами, поскольку эти координаты адаптированы к структуре аффинного пространства.

Точка зрения многообразия обходит эту проблему, требуя, чтобы формула$P_1+\vec{v}=P_2$можно использовать только в бесконечно малой окрестности точки$P_1$и масштабирует вектор$\vec{v}$вниз на некоторый скаляр$\epsilon$. Т.е. в формулировке многообразия каждая точка имеет сопровождающее векторное пространство, которое мы можем использовать, чтобы получить точку на вершине вектора:$P_1+\epsilon\vec{v}=P_2$, для начально малого значения$\epsilon$.

Как объяснял Чарли, в полной общности многообразие не обеспечивает возможность сравнивать два вектора в разных точках. Векторные пространства в разных точках просто полностью независимы.

Однако известно, что пространство-время Минковского имеет структуру аффинного пространства. Таким образом, существует один канонический изоморфизм между всеми векторными пространствами в разных точках. Проще говоря, все векторные пространства можно идентифицировать. Затем использование криволинейных координат можно интерпретировать как требование, чтобы в разных точках вы использовали декомпозицию по разным основаниям.

б) Что означает это выражение? Является ли этот вектор неявным образом означающим вектор, начинающийся с начала координат, предполагающий декартовы координаты и с компонентами в направлениях t ^, x ^ и т. Д., Указанных выше? Итак, при взятии скалярного произведения в (1) мы берем его в начале координат и с метрикой Минковского?

Как я уже сказал, у пространства-времени Минковского есть две интерпретации. Один из них состоит в том, что это компоненты вектора, живущие в какой-то момент, разложившиеся в какой-то базис в этой точке. Основа, скорее всего, дается «направлением и скоростью» координатных кривых в точке. Это полностью многогранная точка зрения. Другая интерпретация, использующая аффинную структуру пространства-времени Минковского, говорит вам, что это компоненты вектора, разложенного относительно базиса, определенного в точке P. Разница между этими двумя интерпретациями на самом деле не очень велика. В одной интерпретации и базис, и вектор живут в точке$P$, в другой интерпретации, они живут в «едином истинном» векторном пространстве, но разложение происходит по рассматриваемой точке.