Что имеется в виду, когда говорят, что векторное поле пространственноподобно, времениподобно или разделено нулями?

«Каноническое» значение вектора вообще, в геометрическом смысле, — это смещение : если у вас есть точка$P$в подходящем однородном пространстве, таком как евклидово трехмерное пространство, то

точка, смещенная в направлении и на расстояние, закодированное в пределах$\mathbf{v}$. Аналогично, если$Q$и$P$две точки, то

вектор, представляющий смещение от$P$к$Q$.

То же самое относится и к векторам пространства-времени: мы можем использовать их для представления смещений между точками пространства-времени точно так же, как мы можем использовать их для представления смещений между чисто пространственными точками. Таким образом, естественно предположить, что если мы можем классифицировать расстояния между точками по этим категориям, то мы также должны быть в состоянии классифицировать векторы, производящие эти разделения при добавлении к той или иной точке, по тем же категориям.

Следовательно, мы можем определить, что вектор является пространственноподобным , времениподобным или светоподобным , если он создает, соответственно, пространственно-временную точку (или событие ), которая является пространственноподобной, времениподобной или светоподобной, отделенной от другой такой точки при добавлении к этой данной точке. То есть,$\mathbf{v}$пространство/время/светоподобно, если$P$и$P + \mathbf{v}$разделены пространством/временем/светом соответственно.

Отсюда можно доказать , что, в свою очередь, с точки зрения длины вектора

что

• $\mathbf{v}$времяподобно, если$||\mathbf{v}||$отлична от нуля и действительна ,
• $\mathbf{v}$светоподобна, если$||\mathbf{v}||$ноль,
• $\mathbf{v}$пространственноподобна, если$||\mathbf{v}||$ненулевое и мнимое .

И это также может быть расширено для определения аналогичных понятий для других векторов, размерность которых не подходит для непосредственного представления перемещений. И тогда мы можем аналогичным образом распространить его далее на векторные поля: векторное поле$\mathbf{F}$является (s/t/l)-подобным, если в каждой пространственно-временной точке$P$,$\mathbf{F}(P)$является (s/t/l)-подобным, как мы только что определили и обобщили.

Наконец, физически 4-импульс никогда не является пространственно-подобным (не «всегда времениподобным» — 4-импульс фотонов подобен свету), потому что он, по сути, представляет собой смещение в пространстве-времени, которое физический объект претерпевает во время своего движения. . А смещение в пространственно-подобном направлении представляло бы движение быстрее света. Насколько нам известно, ничто не движется быстрее света.

Это вектор$V$является времениподобным, светоподобным/нулевым или пространственноподобным указывает исключительно на то, что$V^{\mu}V_{\mu}=V_{0}^{2}-V_{1}^{2}-V_{2}^{2}-V_{3}^{2}=V_{0}^{2}-{\bf V}^{2}$является положительным, нулевым или отрицательным. То, что это означает в разных конкретных случаях, несколько различается.

Для четырехимпульсного$p^{\mu}$: Поскольку компоненты импульса канонически сопряжены с переменными положения,*$p^{\mu}$является генератором пространственно-временного перевода. Это автоматически верно для квантовой механики, а также верно для классики, когда теория интерпретируется с помощью скобок Пуассона, реализующих преобразования, или с помощью принципа Гамильтона, когда траектория частицы является конфигурацией наименьшего действия. Качественно, что$p^{\mu}$должна быть времениподобной (или светоподобной для безмассовой частицы) означает, что пространственно-временная траектория движения частицы также должна быть времениподобной (или светоподобной**).

Ситуация для 4-скорости такая же, так как 4-скорость просто определяется изменением масштаба 4-импульса на$m^{-1}$. Плотность тока немного сложнее, но если$J^{\mu}$рассматривается как порожденный движением (большого) набора точечных зарядов,${\bf J}=\sum_{n}q_{n}{\bf v}_{n}\delta^{3}[{\bf r}-{\bf r}_{n}(t)]$, то его времениподобная природа также происходит от того, что времениподобная природа$p^{\mu}$.

Требование пространственноподобности четырехсилы является следствием того, что частица массы$m$должен как до, так и после того, как испытает четырехимпульсный$\Delta I^{\mu}=F^{\mu}\Delta t$удовлетворяют тому же соотношению энергии-импульса,$E^{2}-{\bf p}^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$. Потому что$|\partial E/\partial{\bf p}|=|{\bf v}|<c$, энергия должна измениться меньше, чем импульс под действием импульса (по модулю коэффициентов$c$), что означает, что четырехимпульсный (и, следовательно, четырехтактный) должен иметь большее$|{\bf F}|$чем$F_{0}$; другими словами, четыре силы пространственноподобны.

*Формально это неверно, для временных составляющих (поскольку время$t$не является динамической переменной), но те же качественные утверждения по-прежнему применимы к временным компонентам.

**За исключением отражений, которые изменяют импульс от одного светоподобного вектора к другому.

(Я отредактировал вопрос, указав на «векторы», а не на «векторные поля», поскольку только координата и плотность тока являются векторными полями, а не отдельными векторами. Векторное поле будет векторнозначной функцией положения, тогда как импульс частицы — это всего лишь функция времени, не имеющая никакого значения, кроме как в моментальном местоположении частицы.)