Вариация модифицированного действия Эйнштейна Гильберта

В общей теории относительности можно вывести уравнения поля Эйнштейна по принципу наименьшего действия путем вариаций относительно обратного метрического тензора. В некоторых модифицированных теориях гравитации, таких как теория Бранса-Дикке, скалярное поле добавляется к действию Гильберта Эйнштейна, а гравитационная постоянная заменяется функцией скалярного поля. Я не совсем уверен, как вывести уравнения поля из этого действия, более конкретно, ту часть, где скалярное поле присоединено к скаляру Риччи ϕ R φ р ,

Акция Бранс-Дике - это

S B D = ∫ d 4 х - г - - - √ [ 1 16 π ( ϕ R - ω φ грамм а б ∂ ϕ ∂ б ϕ ) + L M ] . S В D знак равно ∫ d 4 Икс - грамм [ 1 16 π ( φ р - ω φ грамм б ∂ φ ∂ б φ ) + L M ] ,

Полученное уравнение поля

грамм а б = 8 π φ T а б + ω φ 2 ( ∂ ϕ ∂ б ϕ - 1 2 грамм а б ∂ с ϕ ∂ с ϕ ) + 1 φ ( ∇ ∇ б ϕ - г а б □ ϕ ) . грамм б знак равно 8 π φ T б + ω φ 2 ( ∂ φ ∂ б φ - 1 2 грамм б ∂ с φ ∂ с φ ) + 1 φ ( ∇ ∇ б φ - грамм б ◻ φ ) ,

Я также хочу вывести новое уравнение поля для практики. Итак, мои вопросы:

  1. Как вывести уравнения движения?

  2. Как выполнить вариацию следующего действия?

    S = ∫ d 4 х - г - - - √ [ 1 16 π грамм R - ϕ ( ∇ μ грамм а б ∇ ν грамм а б ) - 2 Λ + L M ) ] S знак равно ∫ d 4 Икс - грамм [ 1 16 π грамм р - φ ( ∇ μ грамм б ∇ ν грамм б ) - 2 Λ + L M ) ]

Скаляр Риччи, космологическая постоянная и материальный лагранжиан изменятся просто, как действие Гильберта Эйнштейна, чтобы:

δ S = ∫ d 4 х - г - - - √ [ 1 κ ( R а б - 1 2 Г а б + Λ г а б ) - Т а б ] δ грамм а б , δ S знак равно ∫ d 4 Икс - грамм [ 1 κ ( р б - 1 2 р грамм б + Λ грамм б ) - T б ] δ грамм б ,
Как насчет дополнительного срока? Будет ли просто варьироваться по отношению к φ φ или требуется также изменение ковариантной производной метрического тензора? Если последнее верно, то будет ли изменение этого дополнительного термина
∂ L ∂ грамм а б - ∂ μ ∂ L ∂ ( ∇ μ грамм а б ) = 0 ∂ L ∂ грамм б - ∂ μ ∂ L ∂ ( ∇ μ грамм б ) знак равно 0.
Любая помощь будет оценена. Кстати, есть ∇ μ грамм а б ∇ ν грамм а б ∇ μ грамм б ∇ ν грамм б выражение, которое показывает скорость изменения (производной) метрического тензора по координате ( т , х , у , z ) ( T , Икс , Y , Z ) ?

Обычно без кручения вы выбираете (уникальное) соединение, такое как ∇ μ грамм а б = 0 ∇ μ грамм б знак равно 0 смотрите этот вопрос PSE
Основная интуиция, лежащая в основе теории Бранса-Дике, должна звучать так: «Что если мы заменим постоянную Ньютона? грамм грамм скалярным полем φ φ ? (Или, в зависимости от вашей религии, φ - 1 φ - 1 ?) "... все остальное вытекает из этого.
Даже при кручении вы все равно получаете ∇ μ грамм а б = 0 ∇ μ грамм б знак равно 0 , Вам также понадобится тензор неметричности, чтобы сделать его чем-то другим, что практически не используется.

Ответы (1)

Найдите ответ на вопрос 1 ниже. Вопрос 2. странный, так как ∇ μ грамм α β = 0 ∇ μ грамм α β знак равно 0 (когда соединение совместимо по метрике), как упомянуто @Trimok. В любом случае изменение действия может быть получено с использованием метода, описанного ниже.

Начнем с BD action

S = 1 16 π ∫ d 4 х - г - - - √ [ ϕ R - ω φ грамм μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + S M S знак равно 1 16 π ∫ d 4 Икс - грамм [ φ р - ω φ грамм μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ ] + S M
где S M S M это дело действий. Чтобы определить уравнения поля Эйнштейна, мы меняем действие по метрике. Мы будем использовать формулы (ссылка википедия )
δ R = R μ ν δ грамм μ ν + ∇ σ ( г μ ν δ Γ σ μ ν - г μ σ δ Γ ρ ρ μ ) δ р знак равно р μ ν δ грамм μ ν + ∇ σ ( грамм μ ν δ Γ μ ν σ - грамм μ σ δ Γ ρ μ ρ )
Изменение тензора Кристоффеля
δ Γ λ μ ν = δ грамм λ ρ грамм ρ α Γ α μ ν + 1 2 грамм λ ρ ( ∂ μ δ грамм ν ρ + ∂ ν δ грамм μ ρ - ∂ ρ δ грамм μ ν ) = 1 2 грамм λ ρ ( ∇ μ δ грамм ν ρ + ∇ ν δ грамм μ ρ - ∇ ρ δ грамм μ ν ) = - 1 2 ( г ν α ∇ μ δ грамм α λ + г μ α ∇ ν δ грамм α λ - г μ α грамм ν β ∇ λ δ грамм α β ) δ Γ μ ν λ знак равно δ грамм λ ρ грамм ρ α Γ μ ν α + 1 2 грамм λ ρ ( ∂ μ δ грамм ν ρ + ∂ ν δ грамм μ ρ - ∂ ρ δ грамм μ ν ) знак равно 1 2 грамм λ ρ ( ∇ μ δ грамм ν ρ + ∇ ν δ грамм μ ρ - ∇ ρ δ грамм μ ν ) знак равно - 1 2 ( грамм ν α ∇ μ δ грамм α λ + грамм μ α ∇ ν δ грамм α λ - грамм μ α грамм ν β ∇ λ δ грамм α β )
где мы использовали δ грамм μ ν = - г μ α грамм ν β δ грамм α β δ грамм μ ν знак равно - грамм μ α грамм ν β δ грамм α β , Из этого следует
грамм μ ν δ Γ σ μ ν грамм μ σ δ Γ λ λ μ = - ∇ α δ грамм α σ + 1 2 грамм α β ∇ σ δ грамм α β = - 1 2 грамм α β ∇ σ δ грамм α β грамм μ ν δ Γ μ ν σ знак равно - ∇ α δ грамм α σ + 1 2 грамм α β ∇ σ δ грамм α β грамм μ σ δ Γ λ μ λ знак равно - 1 2 грамм α β ∇ σ δ грамм α β
что подразумевает
δ R = R μ ν δ грамм μ ν - ∇ μ ∇ ν δ грамм μ ν + г μ ν ∇ 2 δ грамм μ ν δ р знак равно р μ ν δ грамм μ ν - ∇ μ ∇ ν δ грамм μ ν + грамм μ ν ∇ 2 δ грамм μ ν
Наконец, из 1 , мы также имеем
δ - г - - - √ = - 1 2 - г - - - √ грамм μ ν δ грамм μ ν δ - грамм знак равно - 1 2 - грамм грамм μ ν δ грамм μ ν
Наконец, мы готовы вычислить вариант действия. У нас есть
δ S = 1 16 π ∫ d 4 х δ - г - - - √ [ ϕ R - ω φ грамм μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ]              + 1 16 π ∫ d 4 х - г - - - √ [ ϕ δ R - ω φ δ грамм μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + δ S M = - 1 32 π ∫ d 4 х - г - - - √ грамм μ ν [ ϕ R - ω φ грамм α β ∂ α ϕ ∂ β ϕ ] δ грамм μ ν + ∫ d 4 х δ S M δ грамм μ ν δ грамм μ ν              + 1 16 π ∫ d 4 х - г - - - √ [ ( ϕ R μ ν - ∇ μ ∇ ν ϕ + g μ ν ∇ 2 ϕ ) - ω φ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] δ грамм μ ν δ S знак равно 1 16 π ∫ d 4 Икс δ - грамм [ φ р - ω φ грамм μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ ] + 1 16 π ∫ d 4 Икс - грамм [ φ δ р - ω φ δ грамм μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ ] + δ S M знак равно - 1 32 π ∫ d 4 Икс - грамм грамм μ ν [ φ р - ω φ грамм α β ∂ α φ ∂ β φ ] δ грамм μ ν + ∫ d 4 Икс δ S M δ грамм μ ν δ грамм μ ν + 1 16 π ∫ d 4 Икс - грамм [ ( φ р μ ν - ∇ μ ∇ ν φ + грамм μ ν ∇ 2 φ ) - ω φ ∂ μ φ ∂ ν φ ] δ грамм μ ν
Требуя, чтобы вариация действия исчезла (до ведущего порядка в δ грамм μ ν δ грамм μ ν ) дает
грамм μ ν = - 16 π ϕ - г - - - √ δ S M δ грамм μ ν + ω φ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 грамм μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ] + 1 φ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - г μ ν ∇ 2 ϕ ] грамм μ ν знак равно - 16 π φ - грамм δ S M δ грамм μ ν + ω φ 2 [ ∂ μ φ ∂ ν φ - 1 2 грамм μ ν ∂ α φ ∂ α φ ] + 1 φ [ ∇ μ ∇ ν φ - грамм μ ν ∇ 2 φ ]
Напомним, что тензор напряжений определяется как
T μ ν = - 2 - г - - - √ δ S M δ грамм μ ν T μ ν знак равно - 2 - грамм δ S M δ грамм μ ν
таким образом
грамм μ ν = 8 π φ T μ ν + ω φ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 грамм μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ] + 1 φ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - г μ ν ∇ 2 ϕ ] грамм μ ν знак равно 8 π φ T μ ν + ω φ 2 [ ∂ μ φ ∂ ν φ - 1 2 грамм μ ν ∂ α φ ∂ α φ ] + 1 φ [ ∇ μ ∇ ν φ - грамм μ ν ∇ 2 φ ]
которое является уравнением Бранса-Дике.

Я вижу, как это сделать сейчас. Что касается моего второго вопроса, становится ли дополнительный член просто нулем, поскольку ковариантная производная метрического тензора равна нулю? Таким образом, действие теперь становится знакомым действием Эйнштейна-Гильберта?
Правильно.
Как ты докажешь δ - г - - - √ = - 1 2 - г - - - √ грамм μ ν δ грамм μ ν δ - грамм знак равно - 1 2 - грамм грамм μ ν δ грамм μ ν ? Я не могу подписаться на статью в Википедии ...
δ - г - - - √ = - 1 2 - г - - - √ δ грамм = - 1 2 - г - - - √ грамм грамм μ ν δ грамм μ ν = - 1 2 - г - - - √ - г - - - √ - г - - - √ грамм μ ν δ грамм μ ν = - 1 2 - г - - - √ грамм μ ν δ грамм μ ν ≠ 1 2 - г - - - √ грамм μ ν δ грамм μ ν δ - грамм знак равно - 1 2 - грамм δ грамм знак равно - 1 2 - грамм грамм грамм μ ν δ грамм μ ν знак равно - 1 2 - грамм - грамм - грамм грамм μ ν δ грамм μ ν знак равно - 1 2 - грамм грамм μ ν δ грамм μ ν ≠ 1 2 - грамм грамм μ ν δ грамм μ ν
Как насчет знака ошибки?
@BreakingM_a_t Обратите внимание, что по определению δ грамм = дет ( г + δ грамм ) - дет г = дет г   [ дет ( 1 + г - 1 δ грамм ) - 1   ] δ грамм знак равно йе ( грамм + δ грамм ) - йе грамм знак равно йе грамм [ йе ( 1 + грамм - 1 δ грамм ) - 1 ] , Теперь, чтобы вычислить дет ( 1 + г - 1 δ грамм ) йе ( 1 + грамм - 1 δ грамм ) на ведущий порядок в δ грамм δ грамм мы используем личность журнал дет М = тр лог M журнал ⁡ йе M знак равно тр журнал ⁡ M , Тогда мы имеем дет ( 1 + M ) = exp журнал дет ( 1 + M ) = exp тр лог ( 1 + М ) = exp [ тр ( М + O ( M 2 ) ) ] = exp ( тр м ) + O ( M 2 ) = 1 + тр м + O ( M 2 ) йе ( 1 + M ) знак равно ехр ⁡ журнал ⁡ йе ( 1 + M ) знак равно ехр ⁡ тр журнал ⁡ ( 1 + M ) знак равно ехр ⁡ [ тр ( M + О ( M 2 ) ) ] знак равно ехр ⁡ ( тр M ) + О ( M 2 ) знак равно 1 + тр M + О ( M 2 ) ,
@BreakingM_a_t Это подразумевает δ грамм = дет г тр ( г - 1 δ грамм ) = дет г грамм μ ν δ грамм μ ν δ грамм знак равно йе грамм тр ( грамм - 1 δ грамм ) знак равно йе грамм грамм μ ν δ грамм μ ν , Таким образом, мы находим, что δ - г - - - √ = - 1 2 - г √ δ грамм = - 1 2 - г √ грамм грамм μ ν δ грамм μ ν = 1 2 - г - - - √ грамм μ ν δ грамм μ ν δ - грамм знак равно - 1 2 - грамм δ грамм знак равно - 1 2 - грамм грамм грамм μ ν δ грамм μ ν знак равно 1 2 - грамм грамм μ ν δ грамм μ ν ,
Вариация модифицированного действия Эйнштейна Гильберта
СпросиСетьПолитика конфиденциальности54y, 0v