Геометрия теории Янга-Миллса

Несомненно, лучшим справочником по калибровочным теориям является «Глобальный подход к квантовой теории поля» ДеВитта . В этой книге вы можете найти самые общие формулировки как классической, так и квантовой теории поля, а также подробное обсуждение практически каждой связанной с ними подтемы. Формулировка с самого начала является общековариантной (нет$3+1$расщепление); справедливо для полей произвольной грассмановой четности и произвольного спина; и он может вместить любую калибровочную алгебру (открытую, приводимую и т. д.). Формулировка принимает современную точку зрения, основанную на функциональном интеграле как примитивном понятии, таким образом избавляясь от методов старой школы канонического квантования.

Двухтомник состоит из более чем тысячи страниц и датирован 2003 годом, так что он достаточно актуален. Когда дело доходит до калибровочных теорий, лучше этого не сделаешь. Если вы хотите взять на себя какую-то книгу, вы должны обязательно выбрать эту. Удачи!

Некоторые люди скажут, что книги, цитируемые в других ответах, устарели. Я не согласен с тем, что теория Янга-Миллса, представленная в 90-х годах, устарела. За последние 30 лет физика элементарных частиц кардинально не изменилась. Возможно, величайшими новостями того периода времени были открытия частицы Хиггса, осцилляций нейтрино, топ-кварка и тау-нейтрино. Однако ничто из этого не изменило наши знания о калибровочных теориях.

Как следует из вашего сообщения, вы больше интересуетесь калибровочной теорией поля и ее математическим формализмом, чем самой физикой элементарных частиц, поэтому такая книга, как Baez & Muniain (BM), не может быть устаревшей вообще. Действительно, это одно из лучших мест для первоначального знакомства физиков с дифференциальной геометрией и топологией. Она самодостаточна, очень хорошо написана и представляет наиболее важные концепции математики, которые являются фундаментальными для понимания калибровочных теорий. Они избегают громоздких доказательств и предпочитают набрасывать некоторые результаты, а не излагать их строго. Этот недостаток или математическая строгость не должны быть проблемой, поскольку цель книги — просто ввести геометрию и топологию.

Есть книга Б. Фельзагера: Geometry, Particles, and Fields, в которой исключительно хорошо освещена математика калибровочных теорий. Как и Baez & Muniain, он представляет геометрию и топологию, но основное внимание здесь уделяется вычислениям. Он охватывает больше тем по сравнению с BM и включает в себя основы квантования интеграла по путям. Если вам нужна более новая книга с похожими темами, попробуйте «Геометрию физики » Т. Франкеля 2013 года. На мой взгляд, обе книги превосходны, и между ними нет большой разницы из-за разницы в возрасте.

Моя любимая книга по классическим калибровочным теориям — « Классическая теория калибровочных полей » В. Рубакова.. Книга датируется 2002 годом, и сегодня мы ничего не знаем о классических калибровочных теориях, чего бы там не было. Хотя книга не уделяет особого внимания геометрии, она уникальна во многих других аспектах. Например, в нем подробно обсуждаются алгебры и группы Ли (включая теорию представлений), симметрии и роль топологии в калибровочных теориях. Он математически автономен, физически строг и подробен. Однако часть книги требует предварительного знания квантовой механики. У него стиль конспектов лекций, фокус и явные расчеты, а не феноменология и размахивание руками аргументов. В ней также есть много хороших упражнений, которые продолжают появляться на протяжении всей книги. Единственное, что меня смущает, это то, что автор почему-то решил использовать все индексы Лоренца вниз.

Если вас интересуют квантовые аспекты калибровочных теорий, а также физика элементарных частиц, вы можете попробовать Калибровочные теории сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий, 2-е изд. К. Куигг. Это определенно актуально с точки зрения физики элементарных частиц и охватывает от классической теории поля до физики элементарных частиц, а также представляет собой введение в теории Великого объединения. Хотя я не думаю, что это самодостаточность. Вы не изучите квантовую теорию поля по этой книге, и она больше похожа на феноменологическую и прагматическую книгу: вы знаете правила Фейнмана, а затем получаете из этого все, что можете. Это прямое продолжение книги Рубакова.

Если вы заинтересованы в Великом объединении, одно из лучших мест для начала — пересмотренная статья Slansky’s Group Theory for Unified Model Building . Основное внимание уделяется алгебрам Ли и теории представлений. Возможно, это немного устарело, но эти математические темы не менялись с 1983 года.

Эти книги вместе с хорошей книгой по квантовой теории поля дадут вам четкое представление о физике высоких энергий и дадут вам условия для работы в этой области.

Самая трудная проблема в теории Янга-Миллса — проблема редукции калибровочной симметрии (избыточность); т. е. характеристика пространства орбит калибровочных потенциалов по модулю калибровочных преобразований.

В измерениях 3+1 это пространство ужасно сложно как геометрически, так и топологически. Решение этой проблемы должно пролить свет на давние открытые проблемы теории Янга-Миллса, такие как массовый разрыв и ограничение. Приведенное пространство орбит бесконечномерно и даже не является многообразием.

Если бы мы знали решение этой проблемы, мы могли бы, в принципе, проквантовать редуцированное конфигурационное пространство (с помощью геометрического квантования, которое само по себе является серьезной проблемой) и получить квантовые уравнения Янга-Миллса, которые должны отражать выдвинутые выше свойства.

Большинство известных методов (кроме регуляризации решетки) используют фиксацию калибровки (вместе с духами Феддеева-Попова и БРСТ) для уменьшения избыточности калибровки. Этот метод уменьшает избыточность калибровки лишь приблизительно, так как страдает проблемой копий Грибова. Считается, что это приближение справедливо только в теории возмущений. Существует несколько непертурбативных приближений, таких как теория Фаддеева-Ниеми, но их связь с Янгом-Миллсом только эвристическая.

Два физика: Гурд Рудольф и Матиас Шмидт (вместе с несколькими сотрудниками) работают над несколькими методами решения этой сложной проблемы путем уменьшения избыточности манометров без фиксации манометров. У них много публикаций на эту тему. Они используют в основном методы геометрии и топологии. Их усилия привели к определенным результатам классификации калибровочной орбиты Янга-Миллса. Они написали книгу « Дифференциальная геометрия и математическая физика » ( часть 1 , часть 2 ).

В книге они подробно излагают основы геометрии и топологии, имеющие отношение к теории Янга-Миллса, в строгом математическом изложении. Однако всю книгу можно рассматривать как введение к последним двум главам части 2, где они сообщают о некоторых своих результатах по классификации и квантованию теории Янга-Миллса. Эта тема очень тяжелая. Их исследование все еще продолжается. У них есть результаты для некоторых моделей игрушек, таких как решетка из одной плакетки. Они решают как задачи классической характеристики пространства орбит, так и его квантования для этих моделей. Книга охватывает множество сложных тем и может быть полезным справочником для физиков, интересующихся исследованиями теории Янга-Миллса и квантованием.

Подробное изложение математического справочного материала, необходимого для калибровочной теории, содержится в книге Марка Гамильтона под названием «Математическая калибровочная теория с приложениями к стандартной модели физики элементарных частиц». Последние несколько глав посвящены физически значимым приложениям теории Янга-Миллса.

Одна из моих самых любимых книг —
Baez, J. and Muniain, JP: Gauge Fields, Knots and Gravity . World Scientific Publishing Co Inc., 1994.
Вторая часть книги — это то, что вам может понадобиться. В ней объясняются математические (геометрические) основы классической теории Янга-Миллса. На мой взгляд, книга очень легко читается и содержит достаточно математических деталей; при этом не забывает упомянуть все физически интересные приложения.

Если вам нужна математика во всей красе с более подробной информацией, стандартный справочник —
Nakahara, M.: Geometry, Topology and Physics . CRC Press, 2003.
Чтобы прочитать эту книгу, нужно немного потрудиться.