Как доказывается принцип сохранения импульса с использованием принципа импульса-импульса?

Ключевой компонент, который вы упускаете, — это третий закон Ньютона. Импульс частицы равен$I=\Delta p=F\Delta t$. Время взаимодействия одинаково, но силы равны по величине и противоположны по направлению для двух частиц:

$$F_A=-F_B\text{ so }I_A=-I_B.$$ При этом все, что вам нужно, это немного алгебры.

Предположим, что столкновение между частицами А и В длится некоторое время$\tau$, а при столкновении сила между частицами есть некоторая сложная функция времени,$F(t)$.

Рассмотрим частицу A. Полный импульс, действующий на нее, равен произведению силы на время или, в более общем случае, интегралу силы по времени столкновения:

$$I_a = \int_0^\tau F_a(t)dt$$

А изменение импульса частицы А и есть импульс,$I_a$. Точно то же самое относится и к частице B, поэтому:

$$I_b = \int_0^\tau F_b(t)dt$$

Но мы знаем, что действие и противодействие равны и противоположны, поэтому$F_a = -F_b$, и поэтому$I_a = -I_b$.

Полное изменение импульса равно$I_a + I_b$, и поскольку мы только что показали, что$I_a = -I_b$изменение$-I_b + I_b = 0$. Таким образом, полное изменение импульса равно нулю, т. е. импульс сохраняется.